Funkcje ciągłe względem ścieżek

Krzysztof Banaszewski, Instytut Matematyki WSP,

ul. Chodkiewicza 30, 85–064 Bydgoszcz February 27, 2002

Contents

1 Wstęp 2

2 Wprowadzenie 5

3 Funkcje E–ciągłe 9 3.1 Przykłady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3.2 Podstawowe własności funkcji E–ciągłych . . . . . . . . . . . 15 3.3 Maksymalna rodzina addytywna . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.4 Maksymalna rodzina multiplikatywna . . . . . . . . . . . . . 17 3.5 Operacje kratowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.6 Składanie funkcji E–ciągłych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.7 Reprezentacje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.7.1 Sumy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.7.2 Iloczyny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.7.3 Maksima i minima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.7.4 Granice jednostajne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.7.5 Granice punktowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.7.6 Granice pozaskończone . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.7.7 Składanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4 Własność EIV P 36 4.1 Podstawowe lematy, twierdzenia i przykłady . . . . . . . . . . 36 4.2 Własność CIV P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 4.3 Maksymalne rodziny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 4.4 Reprezentacje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 4.5 Granice jednostajne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 4.6 Granice punktowe i pozaskończone . . . . . . . . . . . . . . . 54

5 Podsumowanie 56

Chapter 1

Wstęp

Zdefiniowana w XVIII wieku klasa funkcji ciągłych (C) doczekała się do dzisiejszych czasów wielu różnorakich uogólnień. Jeszcze w dziewiętnastym wieku matematycy twierdzili, że własnośc (D) przyjmowania wartości pośrednich (patrz rozdział 2 Wprowadzenie) jest dana jedynie funkcjom ciągłym. Dopiero Darboux w 1875 roku [4] udowodnił, że nie jest to prawda. To właśnie od jego nazwiska funkcje posiadające własność przyjmowania wartości pośrednich nazywamy funkcjami z własnością Darboux. Nowo odkryta klasa funkcji okazała się zaskakująco wdzięczną dziedziną badań, co zdeterminowało cały dalszy rozwój Analizy Matematycznej, a w szczególności teorii Funkcji Rzeczywistych. Szczególne osiągnięcia uzyskano badając własność Darboux funkcji pierwszej klasy Baire’a (DB_{1}), to znaczy tych, które są granicami punktowo zbieżnych ciągów funkcji ciągłych. W 1907 roku J. Young zajmował się funkcjami rzeczywistymi (określonymi na przedziale) z następującą własnością: dla każdego x ∈ [a, b] istnieją takie ciągi (x_{n})_{n=1}^{∞},(y_{n})_{n=1}^{∞}, że x_{n} ↘ x, y_{n} ↗ x, f(x_{n}) → f(x) oraz f(y_{n}) → f(x). W swej pracy

[17] Young pokazał, że dla funkcji pierwszej klasy Baire’a, rodziny funkcji z własnością Darboux i z własnością Younga pokrywają się. Obecnie funkcje spełniające warunek Younga są szeroko znane w literaturze jako peryferyjnie ciągłe (PC). I. Maximoff w 1936 roku w swojej pracy [10] rozpatrując funkcje rzeczywiste posiadające doskonałą drogę w każdym punkcie swojej dziedziny (PR) zauważył, że DB_{1} = D ∩ PR. Dalsze rozpatrywanie własności Darboux w klasie funkcji B_{1} doprowadziło do zdefiniowania wielu innych rodzin funkcji. Wypada tu przypomnieć funkcje spójnościowe (Conn), funkcje prawie ciągłe (AC), funkcje rozszerzalne (Ext) oraz funkcje z własnościami CC, ZC, ZW, czy funkcje spełniające warunek Sena i Massery (SM). Matematycy, dążąc do coraz dalszych uogólnień, zrezygnowali w swoich rozważaniach z narzucania na badane klasy funkcji warunku przynależności do rodziny funkcji pierwszej klasy Baire’a. W rezultacie klasy funkcji peryferyjnie ciągłych i z doskonałą drogą zaczęły stanowić oddzielne tematy badań.

Zastanawiając się nad algebraicznymi własnościami funkcji peryferyjnie ciągłych, z doskonałą drogą, czy im podobnych, gdzie definicja klasy funkcji jest oparta na ciągłości funkcji obciętej do pewnej ścieżki E_{x}, można zauważyć pewne podobieństwo między nimi. Stąd pomysł na ujednolicenie własności systemów ścieżek, w celu stworzenia w miarę spójnej teorii. Okazuje się, że wiele klas funkcji, które nie wydają się mieć charakteru ścieżkowego daje się pod takim kątem rozpatrywać. Obok przytoczonych powyżej klas funkcji (PC), (PR) dobrze znaną rodziną funkcji, którą można zdefioniować w sposób ścieżkowy jest klasa funckji obustronnie quasi-ciągłych (Q_{0}). W rozdziale 3.1 można znaleźć inne przykłady.

Ciąłość względem systemu ścieżek, bo o niej tu mowa, stanowiła już w przeszłości temat zainteresowań wielu matematyków. Teorie ścieżkowe znalazły szczególne zastosowanie w rachunku różniczkowym. Do najbardziej znanych publikacji zaliczyć należy wspólną pracę A. M. Brucknera, R. J. O’Malley’a i B. S. Thomsona z 1984 roku Path derivatives: a unified view of certain generalized derivatives [3]. Rozpatrywane tam systemy ścieżek swym typem i zastosowaniem różnią się znacznie o tych, o których mowa w mojej pracy. Kolejną bardzo znaną pracą jest wydanie książkowe B. S. Thomsona z roku 1985 Real functions [16]. Podstawowym rozpatrywanym tam pojęciem jest lokalny system ścieżek S(x) w punkcie x, zdefiniowany w sposób następujący:

i) {x} ∉ S,

ii) jeżeli S ∈ S(x), to x ∈ S,

iii) jeżeli S_{1} ∈ S i S_{1} ⊂ S_{2}, to S_{2} ∈ S(x),

iv) jeżeli S ∈ S i δ > 0, to S ∩ (x − δ, x + δ) ∈ S.

Łatwo zauważyć, że powyższa definicja jest zbieżna z tą zaproponowaną przeze mnie. Natomiast wyniki i zastosowanie obu definicji są zupełnie różne. Thomson w swej pracy interesuje się głównie systemami ścieżek o tej własności, że

jeśli S_{1}, S_{2} ∈ S(x), to S_{1} ∩ S_{2} ∈ S(x).

Zdefiniowany przeze mnie σ–system ścieżek (patrz rozdział 2, definicja 7) niestety warunku tego nie spełnia.

Kolejne rozdziały swej pracy poświęcam własności EIV P, będącej uogólnieniem własności CIV P , zdefiniowanej w 1982 roku przez R. G. Gibsona i F. Rousha [6] w pracy The Cantor intermediate value property. Okazuje się, że klasa funkcji CIV P nie jest jeszcze dostatecznie znana. Z tego też względu pewne jej własności staram się opisać w rozdziałach 4.2-4.6.

R. G. Gibson i F. Roush w 1985 roku, w pracy Concerning the extension of connectivity functions [7] podali kolejną definicję słabej własności przyjmowania Cantora wartości pośrednich (W CIV P). Powyższa klasa funkcji zasługuje na szersze zainteresowanie i będzie przedmiotem moich dalszych badań. W swojej pracy ograniczam się jedynie do pokazania, że klasa funkcji z własnością W CIV P ∩U jest równa jednostajnemu domknięciu klasy funckcji z własnością CIV P.

Wiadomo powszechnie, że rodzina funkcji ciągłych jest zamknięta ze względu na operacje dodawania, mnożenia, maksimum, minumum, złożenia i granicy jednostajnej. Można zadać sobie zatem pytanie, czy podobnie będzie dla klas funkcji E–ciągłych? W swojej pracy próbuje odpowiedzieć właśnie na to pytanie.

Wprowadzenie

Definicja 1 Zbiór P nazywamy doskonałym, jeśli jest on domknięty i w sobie gęsty. Dowolny niepusty zbiór doskonały, nigdzie gęsty, miary Lebesgue’a zero nazywać będziemy zbiorem Cantora.

Oznaczenie 1 Zbiór punktów ciągłości funkcji f oznaczać będziemy symbolem C(f), a zbiór punktów nieciągłości f przez D(f).

Definicja 2 Punkt y ∈ IR nazywamy prawostronną (lewostronną) liczbą graniczną funkcji f : IR → IR w punkcie x_{0} jeżeli f^{−1}(V) ∩ U ≠ ∅ dla dowolnego prawostronnego (lewostronnego) sąsiedztwa U = [x_{0}, x_{0} +d) (U = (x_{0} − d, x_{0}]) punktu x_{0} i każdego otoczenia otwartego V punktu y. Zbiór wszystkich prawostronnych (lewostronnych) liczb granicznych funkcji f oznaczać będziemy przez K^{−}(f, x) (K^{+}(f, x)). K(f, x_{0}) = K^{−}(f, x_{0}) ∩ K^{+}(f, x_{0}) nazywać będziemy zbiorem liczb granicznych funkcji f w punkcie x_{0}.

Oznaczenie 2 Przez c będziemy oznaczać moc zbioru wszystkich liczb rzeczywistych, przez ω_{1} zaś pierwszą nieprzeliczalną liczbę porządkową. ω_{0} będzie oznaczać liczbę porządkową równoliczną ze zbiorem wszystkich liczb naturalnych. Natomiast ω_{c} będzie oznaczać liczbę porządkową mocy continuum. Symbolem card(A) oznaczmy moc zbioru A.

Definicja 3 Mówimy, że zbiór A jest obustronnie drugiej kategorii w punkcie x jeśli x ∈ A oraz dla dowolnego δ > 0 zbiory A ∩ (x − δ, x) i A ∩ (x, x + δ) są drugiej kategorii.

Definicja 4 Zbiór A nazywamy lokalnie rezydualnym w punkcie x jeśli x ∈ A oraz dla dowolnego ε > 0 istnieją przedziały otwarte I^{−} ⊂ (x−ε, x), I^{+} ⊂ (x, x + ε) takie, że zbiory I^{−} ∩ A i I^{+} ∩ A są rezydualne odpowiednio w I^{−} oraz w I^{+}.

Oznaczenie 3 Jeśli A ⊂ IR, x ∈ IR, to oznaczmy x ± A = {x ± a; a ∈ A}.

Oznaczenie 4 Symbol \overline{IR} będzie oznaczał rozszerzoną prostą rzeczywistą.

Oznaczenie 5 Symbol CH będzie oznaczał hipotezę continuum.

Oznaczenie 6 Dla każdego A ⊂ IR^{2} zbiór

P r_{x}(A) = {x ∈ IR; ∃_{y∈IR} (x, y) ∈ A}

nazywać będziemy x–projekcją zbioru A, a

P r_{y}(A) = {y ∈ IR; ∃_{x∈IR} (x, y) ∈ A}

y–projekcją zbioru A.

Ze względu na prostotę zapisu przez [a, b] oznaczać będziemy przedział domknięty o końcach w punktach a i b niezależnie od tego czy a < b, czy też b < a. Podobnie oznaczać będziemy przedziały otwarte i jednostronnie domknięte.

Definicja 5 Jeżeli x jest liczbą rzeczywistą, to scieżką w punkcie x nazywamy każdy zbiór E_{x} ⊂ IR, do którego należy punkt x oraz taki, że x jest jego obustronnym punktem skupienia. Niech E(x) będzie pewną podrodziną wszystkich scieżek w punkcie x. Wtedy dowolny element E_{x} ∈ E(x) będziemy nazywać E–ścieżką (w skrócie ścieżką w punkcie x), a rodzinę E = {E(x); x ∈ IR} systemem scieżek (porównaj [3], [16]).

Definicja 6 Mówimy, że L_{x} (R_{x}) jest lewostronną (prawostronną) E-ścieżką w punkcie x jeśli L_{x} = E_{x} ∩ (−∞, x] (R_{x} = E_{x} ∩ [x, ∞)) dla pewnego E_{x} ∈ E(x).

W swojej pracy będę rozpatrywać jedynie takie systemy scieżek, które mają tę własność, że jeśli L_{x} jest lewostronną, a R_{x} prawostronną E–ścieżką w punkcie x, to E_{x} = L_{x} ∪ R_{x} ∈ E(x).

Definicja 7 System ścieżek E będziemy nazywać:

– typu δ, jeżeli E_{x} ∩ [x − δ, x + δ] zawiera pewną ścieżkę należącą do rodziny E(x) dla każdego E_{x} ∈ E(x) i dowolnej dodatniej liczby δ.

– typu σ, jeżli E jest systemem ścieżek typu δ spełniającym warunek: jeśli b_{n+1} < a_{n} < x_{n} < b_{n}, b_{n} ↘ x, (lub a_{n} < x_{n} < b_{n} < a_{n+1}, a_{n} ↗ x) n ∈ IN oraz {E_{x_{n}}}_{n=1}^{∞} jest ciągiem lewostronych, prawostronnych lub obustronnych E–ścieżek w punktach x_{n} zawartych w [a_{n}, b_{n}], to zbiór ⋃_{n=1}^{∞} E_{x_{n}} ∪ {x} zawiera prawostonną ścieżkę R_{x} (lub lewostronną scieżkę L_{x}) w punkcie x.

– typu Δ, jeżeli E jest typu δ oraz dla dowolnej ścieżki E_{x} istnieje punkt y ∈ E_{x} taki, że E_{x} \ {x} zawiera pewną ścieżkę E_{y} ∈ E(y).

– typu c, jeżeli E jest systemem scieżek typu σ oraz dowolny zbiór Cantora C_{x}, którego x jest obustronnym punktem skupienia, jest elementem z rodziny E(x). Opisane powyżej typy systemów ścieżek będziemy nazywać odpowiednio δ-sy-stem, σ-system, c-system i Δ-system.

Definicja 8 Dla każdego systemu ścieżek E możemy zdefiniować jego σ-domknięcie σE w sposób następujący:

1) jeśli E_{x} ∈ E(x), to E_{x} ∩ (x − δ, x + δ) ∈ σE(x) dla dowolnej δ > 0,

2) jeśli (I_{n})_{n=1}^{∞}, (J_{n})_{n=1}^{∞} są rodzinami parami rozłącznych przedziałów otwartych, o tej własności, że końce przedziałów I_{n} zbiegają z lewej strony do punktu x, a końce przedziałów J_{n} zbiegają do niego z prawej strony, to ⋃_{n=1}^{∞}[(E_{x_{n}} ∩ I_{n}) ∪ (E_{y_{n}} ∩ J_{n})] ∪ {x} ∈ σE(x) dla dowolnych ciągów (x_{n})_{n=1}^{∞}, (y_{n})_{n=1}^{∞} takich, że x_{n} ∈ I_{n}, y_{n} ∈ J_{n} i dla dowolnie wybranych ścieżek E_{x_{n}} ∈ E(x_{n}), E_{y_{n}} ∈ E(y_{n}) dla n ∈ IN,

3) σE = {σE(x), x ∈ IR}.

Wtedy σE jest najmniejszym σ-system ścieżek zawierający rodzinę E.

Definicja 9 Niech X będzie dowolną przestrzenią topologiczną, f : IR → X oraz E = {E(x); x ∈ IR} będzie systemem ścieżek. Mówimy wtedy, że funkcja f jest E–ciągła w punkcie x_{0} (posiada ścieżkę w punkcie x_{0}) jeśli istnieje ścieżka E_{x_{0}} ∈ E(x_{0}) taka, że f|E_{x_{0}} jest funkcją ciągłą w punkcie x_{0}. Jeżeli funkcja f jest E–ciągła w każdym punkcie x_{0} ∈ IR, to mówimy, że f jest E–ciągła. Ponadto, jeśli istnieje prawostronna (lewostronna) ścieżka E_{x_{0}} ∈ E(x_{0}) po obcięciu do której funkcja f jest prawostronnie (lewostronnie) ciągła w punkcie x_{0}, to mówimy, że f posiada prawostronną (lewostronną) ścieżkę w punkcie x_{0}.

W naszych rozważaniach pojawiać się będą następujące klasy funkcji rzeczywistych określonych na prostej rzeczywistej:

Const — klasa funkcji stałych.

C — rodzina wszystkich funkcji ciągłych.

usc — klasa funkcji półciągłych z góry.

lsc — klasa funkcji półciągłych z dołu.

D — rodzina funkcji z własnością Darboux, tj. spełniających warunek: jeśli a, b ∈ IR oraz λ ∈ (f(a), f(b)), to istnieje punkt c ∈ (a, b) taki, że

f(c) = λ.

B — klasa funkcji borelowsko mierzalnych, to znaczy takich, że dla dowolnego zbioru otwartego G, f^{−1}(G) jest zbiorem borelowskim.

B_{1} — rodzina funkcji pierwszej klasy Baire’a, to znaczy będących granicą punktowo zbieżnego ciągu funkcji ciągłych.

DB_{1} — rodzina funkcji pierwszej klasy Baire’a z własnością Darboux.

M — klasa funkcji f które spełniają następujący warunek:

jeśli x_{0} jest prawostronnym (lewostronnym) punktem nieciągłości funkcji f, to f(x_{0}) = 0 oraz istnieje ciąg x_{n} ↘ x_{0} (x_{n} ↗ x_{0}) taki, że f(x_{n}) = 0.

Econst — klasa funkcji E-stałych tj. mających tę własność, że dla każdego punktu x ∈ IR istnieje ścieżka E_{x} ∈ E(x) w tym punkcie, po obcięciu do której funkcja f jest stała (patrz [5]).

C_{E} — rodzina wszystkich funkcji ciągłych względem systemu ścieżek E.

EIV P — rodzina funkcji f spełniających warunek: jeśli f(x) < f(y), to dla dowolnej ścieżki K ∈ ⋃ E zawartej pomiędzy f(x) i f(y) istnieje taka ścieżka ⋃ E ∋ C ⊂ [x, y], że f(C) ⊂ K.

CIV P — rodzina funkcji f spełniających warunek: jeśli f(x) < f(y), to dla dowolnego zbioru Cantora K zawartego pomiędzy f(x) i f(y) istnieje zbiór Cantora C ⊂ [x, y] taki, że f(C) ⊂ K (patrz [6]).

W CIV P — klasa funkcji f spełniających warunek: jeśli f(x) < f(y), to istnieje zbiór Cantora C ⊂ [x, y] taki, że f(C) ⊂ (f(x), f(y)) (patrz [7]).

U_{0} — klasa funkcji posiadających własność: dla dowolnego przedziału domkniętego J = [a, b], f(J) jest zbiorem gęstym w przedziale [f(a), f(b)] (porównaj [1]).

U — klasa funkcji posiadających własność: dla dowolnego przedziału domkniętego J = [a, b] oraz dla dowolnego zbioru A mocy mniejszej niż continuum, f(J \ A) jest gęsty w przedziale [f(a), f(b)] (porównaj [1]).

Funkcje E–ciągłe

3.1 Przykłady

Przyglądając się rozwojowi badań funkcji rzeczywistych można napotkać wiele przykładów klas funkcji, które na pierwszy rzut oka wydawają się nie mieć wiele wspólnego z uogólnioną ciągłością względem systemów ścieżek, a jednak często są wręcz do tej teorii stworzone. Ponadto tak ogólna definicja systemu ścieżek pozwala rozważać całkiem nowe klasy funkcji E–ciągłych. Poniżej podajemy pewne ich przykłady.

(a) Klasa funkcji ciągłych. Niech (IR, T ) będzie przestrzenią topologiczną bez punktów izolowanych (np. przestrzeń euklidesowa, prosta z topologią gęstości itp.). Zdefiniujmy E(x) = {A : ∃_{V ∈T} x ∈ V ⊂ A} oraz E = {E(x) : x ∈ IR}.

(b) Rodzina funkcji prawie ciągłych (w sensie Husaina [8]). Mówimy, że funkcja f jest prawie ciągła w sensie Husaina jeśli dla dowolnego punktu x_{0} oraz dla dowolnego otoczenia otwartego U punktu f(x_{0}) istnieje otoczenie otwarte V punktu x_{0} takie, że

V ⊂ int(cl(f^{−1}(U))).

Niech E(x) = \{A : x ∈ A i ∃_{δ>0} (x−δ, x+δ) ⊂ \overline{A}\} oraz E = \{E(x) : x ∈ IR}. Wtedy E jest rodziną takich ścieżek, że klasa funkcji E–ciągłych jest równa klasie funkcji ciągłych w sensie Husaina.

(c) Klasa funkcji obustronnie quasi–ciągłych (Q_{0}) [13] spełniających warunek: dla dowolnych x ∈ IR, ε, δ > 0 istnieją niepuste zbiory otwarte U ⊂ (x − δ, x) i V ⊂ (x, x + δ) takie, że |f(x) − f(y)| < ε dla każdego y ∈ U ∪ V. Jeśli rodzinę ścieżek w punkcie x definiujemy w sposób następujący E(x) = {A : x ∈ A oraz ∀_{δ>0}(∃_{a,b,c,d} x − δ < a < b < x < c < d < x + δ oraz (a, b) ∪ (c, d) ⊂ A)} i E = {E(x) : x ∈ IR}, to wyznacza ona klasę funkcji obustronnie quasi-ciągłych.

(d) Rodzina funkcji z doskonała drogą (PR) [10]. Mówimy, że funkcja f posiada doskonałą drogę jeśli dla każdego x ∈ IR możemy znaleźć zbiór doskonały E_{x} taki, że x jest jego obustronnym punktem skupienia oraz f|E_{x} jest ciągła w punkcie x. Przyjmijmy za rodzinę ścieżek E(x) w punkcie x wszystkie zbiory doskonałe, których x jest obustronnym punktem skupienia oraz połóżmy E = {E(x) : x ∈ IR}. Wtedy PR = C_{E}.

(e) Klasa funkcji peryferyjnie ciągłych (PC) [17]. Funkcję f nazywamy peryferyjnie ciągłą jeśli dla każdego punktu x ∈ IR istnieją ciągi x_{n} ↘ x, y_{n} ↗ x takie, że

lim_{n→∞} f(x_{n}) = lim_{n→∞} f(y_{n}) = f(x).

Niech E(x) będzie rodziną wszystkich zbiorów do których należy punkt x będący zarazem ich obustronnym punktem skupienia oraz zdefiniujmy E = {E(x) : x ∈ IR}. Wtedy PC = C_{E}.

(f) Klasa funkcji C(m). Określmy E(x) jako rodzinę zbiorów E_{x} spełniających warunek:

∀_{δ>0} card(E_{x} ∩ (x, x + δ)) ≥ m, card(E_{x} ∩ (x − δ, x)) ≥ m,

gdzie m jest ustaloną, nieskończoną liczbą kardynalną mniejszą lub równą continuum. Wtedy f ∈ C(m) jeśli dla dowolnego x ∈ IR istnieje taka E–ścieżka E_{x}, że f|E_{x} jest funkcją ciągłą w punkcie x.

(g) Rodzina funkcji wymierno–niewymiernych (RQ). Niech

E_{x}^{ε} = \{ \begin{matrix}Q ∩ (x − ε, x + ε) & dla & x ∈ Q \\ (IR \ Q) ∩ (x − ε, x + ε) & dla & x ∈ IR \ Q \end{matrix}

Dla każdego ε > 0 niech E(x) = {E_{x}^{ε} : ε > 0} oraz E = {E(x) : x ∈ IR} będzie zadanym systemem ścieżek. Wtedy f : IR → IR jest funkcją wymierno-niewmierną jeśli f|E_{x}^{ε} jest funkcją ciągłą w punkcie x dla każdego x ∈ IR i dla każdego ε > 0.

(h) Rodzina funkcji kategoryjnie ciągłych (K_{2}). Niech E(x) będzie rodziną wszystkich zbiorów E_{x}, które są obustronnie drugiej kategorii w x oraz E = {E(x); x ∈ IR}. Wtedy rodzinę wszystkich funkcji ciągłych względem systemu ścieżek E oznaczmy przez K_{2}.

(i) Rodzina funkcji rezydualnie ciągłych (R_{o}). Dla każdego x ∈ IR określmy E(x) jako rodzinę wszystkich zbiorów, które są lokalnie rezydualne w tym punkcie oraz E = {E(x); x ∈ IR}. R_{o} oznacza wtedy rodzinę wszystkich funkcji E–ciągłych.

Kolejne klasy funkcji ciągłych względem systemów ścieżek E można określić korzystając z definicji typów systemów ścieżek podanych przez A. M. Brucknera, R. J. O’Malleya i B. S. Thomsona ([3] str. 99).

(k) Klasa funkcji E–ciągłych względem systemu ścieżek (ρ, λ) określonego w sposób następujący: za rodzinę ścieżek E(x) w punkcie x przyjmujemy te wszystkie zbiory E_{x} zawierające punkt x, które mają dolną lewostronną gęstość w punkcie x równą ρ, a prawostronną dolną gęstość w punkcie x równą λ. E = {E(x); x ∈ IR}.

(l) Rodzina funkcji przesuwalnie ciągłych względem opisanego poniżej systemu ścieżek. Niech S będzie dowolnym zbiorem zawierającym zero będącym jego obustronnym punktem skupienia. Dla dowolnego x ∈ IR niech E(x) = {S + x} oraz E = {E(x), x ∈ IR}.

Funkcja f należy do jednej z klas funkcji (a)–(l) jeśli jest E–ciągła względem odpowiedniego systemu ścieżek. Zauważmy, że systemy ścieżek z punktów (a), (b), (g), (k) i (l) nie są σ-systemami, a z punktów (d), (e), (f) są csystemi ścieżek. Pozostałe systemy ścieżek są σ–systemami. Wszystkie podane powyżej rodziny E z wyjątkiem tych opisanych w punktach (e) i (l) są Δ–systemami ścieżek. W tych przypadkach, kiedy E nie jest σ–systemem ścieżek dokonując operacji σ–domknięcia otrzymujemy nowe klasy funkcji σE–ciągłych.

Uwaga 3.1.1 Jeżeli E(x) = {(x − δ, x + δ); δ > 0}, E = {E(x); x ∈ IR} (patrz punkt (a)), to C_{(σE)} jest rodziną funkcji obustronnie quasi–ciągłych (patrz punkt (c)).

Uwaga 3.1.2 Jeżeli E będzie σ-systemem ścieżek, to

Q_{0} ⊂ C_{E} ⊂ PC.

Dowód. Niech f ∈ Q_{0}. Pokażemy, że f jest funkcją E–ciągłą. Ustalmy x ∈ IR oraz niech E_{x} będzie ścieżką, po której realizowana jest prawostronna quasi-ciągłość funkcji f w punkcie x. Wtedy isnieje ciąg parami rozłącznych przedziałów (I_{n})_{n=1}^{∞}, których końce zbiegają z prawej strony do punktu x taki, że ⋃_{n=1}^{∞} I_{n} ⊂ E_{x}. Wybierzmy taki ciąg punktów (x_{n})_{n=1}^{∞}, że x_{n} ∈ I_{n}. Niech E_{x_{n}} ∈ E(x_{n}) będzie dowolną E–ścieżką zawartą w przedziale I_{n} dla n ∈ IN. Ponieważ E jest σ–systemem ścieżek, więc ⋃_{n=1}^{∞} E_{x_{n}} ∪ {x} zawiera prawostronną E–ścieżkę F_{x} w punkcie x. Wtedy f|F_{x} jest funkcją ciągłą w punkcie x. Analogicznie wykazuje się lewostronną E–ciągłość funkcji f.

Załóżmy, że g ∈ C_{E} oraz niech x ∈ IR. Pokażemy , że g jest peryferyjnie ciągła w punkcie x. Oznaczmy przez E_{x} ∈ E(x) tą ścieżkę, dla której g|E_{x} jest funkcją ciągłą w x. Znajdziemy, zatem takie ciągi punktów (x_{n})_{n=1}^{∞}, (y_{n})_{n=1}^{∞}, że x_{n} ↘ x i y_{n} ↗ x. Wtedy

lim_{n→∞} g(x_{n}) = lim_{n→∞} g(y_{n}) = g(x).

Lemat 3.1.1 Niech E będzie σ-systemem ścieżek, {x_{n}}_{n=1}^{∞} dowolnym ciągiem liczb rzeczywistych oraz c ∈ \overline{\{x_{n}; n ∈ IN\}}. Istnieje wtedy E–ciągła funkcja f : IR → IR taka, że f(IR \ {0}) = {x_{n} : n ∈ IN} i f({0}) = {c}.

Dowód. Oznaczmy przez C zero–dwójkowy zbiór Cantora. Dla każdego n ∈ IN niech I_{n,1}, I_{n,2}, …, I_{n,2^{n−1}} będzie rodziną wszystkich składowych zbioru [0, 1] \ C długości 3^{−n}. Niech φ = (φ_{1}, φ_{2}) będzie wzajemnie jednoznaczną funkcją odwzorowującą IN na IN × IN. Zdefiniujmy f : IR → IR w sposób następujący:

f(x) = \{ \begin{matrix}x_{φ_{1}(n)} & jeżeli |x| ∈ \overline{I}_{n,k}, n ∈ IN, k = 1, 2, …, 2^{n−1} \\ c & jeżeli x = 0 \\ x_{1} & w przeciwnym przypadku. \end{matrix}

Wtedy funkcja f jest obustronnie quasi–ciągła. Ponieważ na mocy uwagi 3.1.2 każda funkcja z Q_{0} jest E–ciągła względem dowolnego σ–systemu ścieżek, więc f ∈ C_{E}.

Przykład 3.1.1 Niech E będzie c-systemem ścieżek oraz I = [0, 1]. Istnieje wzajemnie jednoznaczna funkcja E–ciągła f : I → I, nieciągła w każdym punkcie różnym od 1/2 i taka, że f = f^{−1} oraz f ∉ K_{2}.

Dowód. Niech (I_{n})_{n}^{∞} będzie ciągiem wszystkich przedziałów otwartych o końcach wymiernych zawartych w I. W każdym przedziale I_{n} możemy wybrać taki zbiór Cantora C_{n}, że C_{m} ∩ C_{n} = ∅ dla wszystkich m ≠ n. Ciąg (C_{n})_{n}^{∞} istnieje ponieważ dla każdego n ∈ IN otrzymujemy, że I_{n} \ ⋃_{m=1}^{n−1} C_{m} jest zbiorem nigdzie gęstym, a taki zawiera zbiór Cantora C_{n}. Zdefiniujmy

f(x) = \{ \begin{matrix}x & dla x ∈ ⋃_{n=1}^{∞} C_{n} lub (1 − x) ∈ ⋃_{n=1}^{∞} C_{n}, \\ 1 − x & w przeciwnym przypadku. \end{matrix}

Pokażemy, że f ∈ C_{E} \K_{2}, pomijając jej pozostałe, dość oczywiste własności. Ustalmy x ∈ I. Załóżmy, że x ∈ ⋃_{m=1}^{∞} C_{m}, lub 1 − x ∈ ⋃_{m=1}^{∞} C_{m}. Dla każdego k ∈ IN istnieje przedział I_{n_{k}} ⊂ (x+1/(k +1), x+1/k), oraz zawarty w nim zbiór Cantora C_{n_{k}}. Wtedy R_{x} = ⋃_{k=1}^{∞} C_{n_{k}} ∪ {x} jest prawostronną ścieżką funkcji f w punkcie x, gdyż f|R_{x} = id_{R_{x}} jest funkcją ciągłą. Przypuśćmy, że x ∈ I \ ⋃_{m=1}^{∞} C_{m} i 1 − x ∈ I \ ⋃_{m=1}^{∞} C_{m}. Ponieważ dla dowolnego n ∈ IN zbiór ((x + 1/(n + 1), x + 1/n) ∩ (I \ ⋃_{m=1}^{∞} C_{m}) jest rezydualny, typu G_{δ}, więc zawiera pewien zbiór Cantora K_{n}. Stąd R_{x} = ⋃_{n=1}^{∞} K_{n} ∪ {x} jest prawostronną ścieżką oraz f|R_{x}(y) = 1 − y jest funkcją ciągłą w punkcie x. W analogiczny sposób można pokazać, że funkcja f posiada lewostronną ścieżkę w punkcie x. Wybierzmy x ∈ S = ⋃_{m=1}^{∞} C_{m} ∪ (1 − C_{m})) \ {1/2} oraz oznaczmy przez P_{x} dowolny zbiór, którego x jest obustronnym punktem skupienia. Zauważmy, że ciągłość funkcji f|P_{x} w punkcie x jest możliwa tylko pod warunkiem, że P_{x} ⊂ S. Dowodzi to, iż f ∉ K_{2}.

Uwaga 3.1.3 Niech m > ω_{0}. Zawierania zachodzące pomiędzy poszczególnymi klasami funkcji ilustruje następujący diagram:

[figure: C; Q_{0}; R_{o}; K_{2}; C(m); PC; PR] Dowód. Ponieważ poszczególne zawierania są dość oczywiste, więc wykażemy jedynie, że nie można ich odwrócić. Korzystając z dobrze znanego faktu o istnieniu nieciągłych funkcji obustronnie quasi–ciągłych (np. funkcja z lematu 3.1.1), otrzymujemy Q_{0} ⊄ C. Funkcja charakterystyczna zbioru Bernsteina jest przykładem na to, że K_{2} ⊄ R_{o} oraz C(m) ⊄ PR. Na mocy przykładu 3.1.1 otrzymujemy, że C(m) ⊄ K_{2}. Tenże sam przykład pokazuje, że PR ⊄ R_{o}. Natomist rozważając funkcję charakterystyczną zbioru liczb wymiernych otrzymujemy, że PC ∉ C(m). Pokażemy, że Q_{0} = R_{o}. Zawieranie ’⊂’ jest natychmiastowe. W celu wykazania zawierania przeciwnego załóżmy, że f ∈ R_{o}. Ustalmy x ∈ IR. Możemy założyć, że funkcja f jest prawostronnie (lub lewostronnie) nieciągła w punkcie x. W przeciwnym przypadku otrzymujemy jej obustronną quasi– ciągłość w punkcie x. Niech z ≠ f(x) będzie dowolnym punktem ze zbioru prawostronnych liczb granicznych funkcji f w punkcie x. Oznaczmy przez

c = \{ \begin{matrix}z & jeśli z ∉ \{±∞\} \\ f(x) − 1 & jeśli z = −∞ \\ f(x) + 1 & jeśli z = ∞ \end{matrix}

oraz przez ε = |c − f(x)|/2. Wtedy zbiór

S = {y ∈ IR; |f(y) − f(x)| < ε}

zawiera taką lokalnie rezydualną ścieżką E_{x} w punkcie x, że

|f(y) − f(x)| < ε/2 dla y ∈ E_{x}.

Znajdziemy wtedy ciąg parami rozłącznych przedziałów J_{n} = (a_{n}, b_{n}) dla n ∈ IN takie, że a_{n} ↘ x oraz E_{x} ∩ J_{n} jest zbiorem rezydualnym w J_{n}. Pokażemy, że ⋃_{n=1}^{∞} J_{n} ∪ {x} jest ścieżką, która zapewnia prawostronną quasi–ciągłość funkcji f w punkcie x.

Załóżmy, że (x_{k})_{k=1}^{∞} jest takim ciągiem, że

1) x_{k} ↘ x,

2) x_{k} ∈ ⋃_{n=1}^{∞} J_{n} \ E_{x} dla k ∈ IN,

3) |f(x) − f(x_{k})| ≥ ε dla k ∈ IN.

Niech (n_{k})_{n=1}^{∞} będzie takim rosnącym ciągiem liczb naturalnych, że x_{k} ∈ J_{n_{k}} dla k ∈ IN. Dla y ∈ J_{n_{k}} ∩ E_{x} mamy

ε ≤ |f(x) − f(x_{k})| ≤ |f(x) − f(y)| + |f(y) − f(x_{k})| ≤ ε/2 + |f(y) − f(x_{k})|,

a stąd

|f(y) − f(x_{k})| ≥ ε/2.

Zatem jeżeli funkcja f posiada lokalnie rezydualną ścieżkę E_{x_{k}} w punkcie x_{k}, to E_{x_{k}} ∩ J_{n_{k}} ⊂ J_{n_{k}} \ E_{x}. E_{x_{k}} jako uzupełnienie zbioru rezydualnego w J_{n_{k}} jest zbiorem pierwszej kategorii. Nie jest więc rezydualna w żadnym przedziale zawartym w J_{n_{k}}. Z tej sprzeczności otrzymujemy, że tak wybrany ciąg (x_{k}) nie istnieje.

W identyczny sposób można udowodnić lewostronną quasi–ciągłość funkcji f w punkcie x.

Uwaga 3.1.4

Q_{0} ∩ B_{1} = R_{o} ∩ B_{1} = K_{2} ∩ B_{1} ⊂ C(m) ∩ B_{1} = PC ∩ B_{1} = PR ∩ B_{1} = DB_{1}.

Dowód. Zawierania "⊂" wynikają bezpośrednio z uwagi 3.1.3. J. Young (patrz [17]) pokazał, że PC ∩ B_{1} = DB_{1}. I. Maximoff (patrz [10]) udowodnił, że analogiczna równość zachodzi dla funkcji z doskonałą drogą (PR). Otrzymujemy stąd również, że dla dowolnej liczby kardynalnej ω_{0} < m < ω_{c}, C(m) ∩ B_{1} = DB_{1}. A. M. Bruckner w swojej monografii Differentiation of real functions ([2] przykład 2.3, str. 13) pokazał, że istnieje funkcja pierwszej klasy Baire’a z własnością Darboux, przyjmująca wartości dodatnie jedynie na niepustym zbiorze nigdzie gęstym. Tak określona funkcja nie jest kategoryjnie ciągła, a więc DB_{1} ⊄ K_{2}. Na koniec pokażemy, że K_{2} ∩ B_{1} ⊂ Q_{0} ∩ B_{1}. Niech f ∈ K_{2} ∩ B_{1} oraz x_{0} ∈ IR. Wybierzmy dowolny ciąg (x_{n})_{n=1}^{∞} taki, że

x_{n} ↘ x_{0} i |f(x_{n}) − f(x_{0})| < 1/n dla n ∈ IN.

Wtedy

A_{n} = f^{−1}((f(x_{0}) − 1/n, f(x_{0}) + 1/n)) ∩ (\frac{x_{n+1} + x_{n}}{2} , \frac{x_{n} + x_{n−1}}{2} )

jest zbiorem typu F_{σ}, drugiej kategorii, a więc posiada niepuste wnętrze. Niech (I_{n})_{n=1}^{∞} będzie taką rodziną przedziałów otwartych, że I_{n} ⊂ A_{n} dla każdego n ∈ IN. Wtedy

f|( ⋃_{n=1}^{∞} I_{n} ∪ {x_{0}})

jest funkcją ciągłą w punkcie x_{0}, co dowodzi prawostronnej quasi-ciągłości funkcji f. W analogiczny sposób można wykazać, iż jest ona lewostronnie quasi-ciągła.

3.2 Podstawowe własności funkcji E–ciągłych

Uwaga 3.2.1 Jeśli E jest systemem ścieżek oraz f jest funkcją rzeczywistą określoną na prostej rzeczywistej, to f posiada ścieżkę w punkcie x wtedy i tylko wtedy gdy f posiada ścieżki lewostronną i prawostronną w tym punkcie.

Lemat 3.2.1 Niech X będzie przestrzenią topologiczną, f : IR → IR, f_{1} : X → IR będą funkcjami ciągłymi oraz g : IR → IR, g_{1} : IR → X będą funkcjami E–ciągłymi. Wtedy:

i) h = (f, g) jest funkcją E–ciągłą, ii) k = f_{1} ∘ g_{1} jest funkcją E–ciągłą.

Dowód. Niech x ∈ IR oraz E_{x}, F_{x} ∈ E(x) będą takimi ścieżkami, że funkcje g|E_{x} i g_{1}|F_{x} są ciągłe w punkcie x. Zauważmy, że h|E_{x} = (f, g)|E_{x} = (f|E_{x}, g|E_{x}) i k|F_{x} = (f_{1} ∘ g_{1})|F_{x} = f_{1} ∘ (g_{1}|F_{x}). Stąd wynika, że funkcje h|E_{x} i k|F_{x} są ciągłe w punkcie x. Wobec dowolności wyboru punktu x dowodzi to, iż h i k są funkcjami E–ciągłymi.

Lemat 3.2.2 Niech E będzie σ-systemem ścieżek, f : IR → \overline{IR}, a P będzie zbiorem punktów E–ciągłości funkcji f. Jeżeli wykres funkcji f|P jest obustronnie gęsty w wykresie funkcji f, to f jest funkcją E–ciągłą.

Dowód. Wybierzmy x ∈ IR. Będziemy pokazywać, że funkcja f ma prawostronną ścieżkę w punkcie x. Niech (x_{n}) będzie takim ciągiem liczb rzeczywistych, że x_{n} ↘ x, f(x_{n}) → f(x) oraz x_{n} ∈ P dla wszystkich n ∈ IN. Dla każdej liczby naturalnej n wybierzmy ścieżkę E_{x_{n}} w punkcie x_{n}, po obcięciu do której funkcja f będzie ciągła w punkcie x_{n}. Wtedy dla pewnej liczby δ_{n,1} > 0 spełniony jest warunek:

(1) jeśli |y − x_{n}| < δ_{n,1},to |f(y) − f(x_{n})| < 1/n dla wszystkich y ∈ E_{x_{n}}.

Przyjmijmy δ_{n} = min(δ_{n,1}, |x_{n} − x_{n−1}|/2, |x_{n} − x_{n+1}|/2). Ponieważ E jest σsystemem ścieżek, więc istnieje taka ścieżka F_{n} ∈ E(x), że F_{n} ⊆ E_{x_{n}} ∩ (x_{n} − δ_{n}, x_{n} + δ_{n}). Ponadto zbiór ⋃_{n=1}^{∞} F_{n} ∪ {x} zawiera pewną prawostronną ścieżkę E_{x} w punkcie x. Z (1) wynika ciągłość funkcji f|E_{x} w punkcie x, a stąd prawostronna E–ciągłość funkcji f w punkcie x. W analogiczny sposób można pokazać, że funkcja f posiada lewostronną ścieżkę w punkcie x.

Twierdzenie 3.2.1 Jeżeli E jest dowolnym systemem ścieżek oraz f : IR → IR jest funkcją E-ciągłą o domkniętym wykresie, to f ∈ C.

Dowód. Załóżmy, że funkcja f nie jest ciągła z prawej strony w pewnym punkcie x_{0}. Zauważmy, że jeśli istnieje y ∈ K^{+}(f, x_{0}) \ {f(x_{0}), ±∞}, to f nie posiada domkniętego wykresu. Możemy więc przyjąć, że K^{+}(f, x_{0}) ⊂ {f(x_{0}), ±∞}. Ponadto istnieje taka δ > 0, że jeśli x ∈ [x_{0}, x_{0} + δ], to |f(x) − f(x_{0})| < 1, lub f(x) > f(x_{0}) + 2, lub f(x) < f(x_{0}) − 2. Przyjmijmy A = {(x, f(x)); x ∈ [x_{0}, x_{0} + δ], |f(x) − f(x_{0})| ≤ 1}. Ponieważ f ma domknięty wykres oraz A jest ograniczony, więc A jest zbiorem zwartym, a wtedy P r_{x}(A) jest domknięty. Poza tym [x_{0}, x_{0} + δ] \ P r_{x}(A) ≠ ∅. Niech (a, b) (a < b) będzie składową zbioru [x_{0}, x_{0} + δ] \ P r_{x}(A). Stąd a ∈ A oraz funkcja f nie jest E-ciągła w punkcie a z prawej strony, co jest sprzeczne z przyjętym założeniem.

3.3 Maksymalna rodzina addytywna

Uwaga 3.3.1

C ⊂ M_{a}(C_{E}) ∩ M_{m}(C_{E}) ∩ M_{l}(C_{E})

Dowód. Załóżmy, że f ∈ C_{E} i g ∈ C. Na mocy lematu 3.2.1 funkcja h = (f, g) jest E–ciągła. Ponieważ k_{1}(x, y) = x+y, k_{2}(x, y) = xy, k_{3}(x, y) = max(x, y) i k_{4}(x, y) = min(x, y) są funcjami ciągłymi, więc f + g = k_{1} ∘ h, fg = k_{2} ∘ h, max(f, g) = k_{3} ∘ h i min(f, g) = k_{4} ∘ h są funkcjami E–ciągłymi.

Definicja 10 Niech X będzie dowolną rodziną funkcji rzeczywistych. Maksymalną rodziną addytywną dla klasy X nazywamy zbiór

M_{a}(X) = {f ∈ X : jeśli g ∈ X, to f + g ∈ X }

Twierdzenie 3.3.1 Jeżeli E jest σ-systemem ścieżek, to

M_{a}(C_{E}) = C.

Dowód. W oparciu o uwagę 3.3.1 należy wykazać jedynie, że M_{a}(C_{E}) ⊆ C. Niech f będzie funkcją E–ciągłą. Załóżmy, że f nie jest prawostronnie ciągła w punkcie x_{0}. Rozważmy dwa przypadki.

i) Istnieje y ∈ K^{+}(f, x_{0}) \ {f(x_{0}), ±∞}. Niech c = f(x_{0}) − y oraz

g(x) = \{ \begin{matrix}c − f(x) & dla x ≤ x_{0} \\ −f(x) & dla x > x_{0}. \end{matrix}

Ponieważ zbiór g|(−∞, x_{0})∪(x_{0}, ∞) jest obustronnie gęsty w wykresie funkcji g, więc na mocy lematu 3.2.2 funkcja g jest E–ciągła. Zauważmy, że dla x ≤ x_{0} mamy (f + g)(x) = c ≠ 0 oraz (f + g)(x) = 0 dla x > x_{0}, a więc funkcja f + g nie jest E–ciągła w punkcie x_{0}.

ii) Jeśli K^{+}(f, x_{0}) ⊆ {f(x_{0}), ±∞}, to niech

g(x) = \{ \begin{matrix}0 & dla x ≤ x_{0} \\ e^{−|f(x)|} & dla x > x_{0}. \end{matrix}

Ponieważ h(y) = e^{−|y|} jest funkcją ciągłą, więc z lematu 3.2.1 wynika, że funkcja g jest E–ciągła w każdym punkcie x ∈ (−∞, x_{0})∪(x_{0}, +∞). Ponadto 0 ∈ K^{+}(g, x_{0}), a stąd g|(−∞, x_{0}) ∪ (x_{0}, +∞) jest obustronnie gęsty w g. Na mocy lematu 3.2.2 otrzymujemy, że funkcja g jest E– ciągła wszędzie. Zauważmy, że (f + g)(x_{0}) = f(x_{0}) oraz (f + g)(x) = f(x) + e^{−|f(x)|} dla x > x_{0}. Będziemy pokazywać, że (f + g) nie jest funkcją peryferyjnie ciągłą. Rozważmy dowolny ciąg (x_{n})_{n=1}^{∞} zbieżny do punktu x_{0} z prawej strony. Mogą zajść następujące dwa przypadki:

a) Z ciągu (x_{n})_{n=1}^{∞} można wybrać podciąg (x_{n_{m}})_{m=1}^{∞} dla którego lim_{m→∞} |f(x_{n_{m}})| = ∞. Wtedy lim_{m→∞} |f + g|(x_{n_{m}}) = ∞.

b) Ciąg (f(x_{n}))_{n=1}^{∞} jest ograniczony. Ponieważ, z założenia, zbiór liczb granicznych zawiera jeden punkt rzeczywisty f(x_{0}), więc f(x_{n}) → f(x_{0}). Zatem lim_{m→∞}(f +g)(x_{n_{m}}) = f(x_{0})+e^{−|f(x_{0})|} ≠ f(x_{0}) = (f + g)(x_{0}).

W konsekwencji otrzymujemy, że (f+g)(x_{0}) ∉ K^{+}(f+g, x_{0}), co kończy dowód twierdzenia.

Wniosek 3.3.1

M_{a}(PR) = M_{a}(PC) = M_{a}(K_{2}) = M_{a}(Q_{0}) = M_{a}(C(m)) = C.

Uwaga 3.3.2 Jeżeli E jest σ–systemem ścieżek, to istnieją funkcje E–ciągłe f, g takie, że h = (f, g) nie jest funkcją E–ciągłą.

Dowód. Załóżmy, że dla każdych f, g ∈ C_{E} funkcja h = (f, g) jest E– ciągła. Niech E(x, y) = x+y dla wszystkich x, y ∈ IR. Na mocy lematu 3.2.1 E∘h = f +g, jako złożenie funkcji E–ciągłej i ciągłej, byłoby odwzorowaniem E–ciągłym, co jest sprzeczne z twierdzeniem 3.3.1.

3.4 Maksymalna rodzina multiplikatywna

Definicja 11 Niech X będzie dowolną rodziną funkcji rzeczywistych. Maksymalną rodziną multiplikatywną dla klasy X nazywamy zbiór

M_{m}(X) = {f ∈ X : jeśli g ∈ X, to fg ∈ X }

Lemat 3.4.1 ([12] lemat 1). Jeżeli f ∈ M oraz x_{0} jest punktem prawostronnej (lub lewostronnej) nieciągłości funkcji f, to istnieje ciąg (x_{n})_{n=1}^{∞} punktów, w których funkcja f jest prawostronnie lub lewostronnie ciągła, f(x_{n}) = 0 oraz x_{n} ↘ x_{0} (x_{n} ↗ x_{0}).

Twierdzenie 3.4.1 Jeżeli E jest σ-systemem ścieżek, to

M_{m}(C_{E}) = C_{E} ∩ M.

Dowód. Zacznijmy od dowodu zawierania C_{E} ∩ M ⊂ M_{m}(C_{E}). Załóżmy, że f ∈ M ∩ C_{E}, g ∈ C_{E} oraz x_{0} ∈ IR. Niech R_{x_{0}} będzie prawostronną ścieżką funkcji f w punkcie x_{0}. Będziemy pokazywać, że fg jest prawostronnie E– ciągła w tym punkcie. Rozważmy dwa przypadki:

i) Funkcja f jest ciągła w punkcie x_{0} z prawej strony. Wtedy

fg|R_{x_{0}} = (f|R_{x_{0}})(g|R_{x_{0}})

jest funkcją ciągłą w punkcie x_{0}.

ii) Funkcja f nie jest prawostronnie ciągła w punkcie x_{0}. Korzystając z lematu 3.4.1 znajdziemy ciąg (x_{n})_{n=1}^{∞} punktów prawostronnej, lub lewostronnej ciągłości funkcji f taki, że x_{n} ↘ x_{0} oraz f(x_{n}) = 0. Załóżmy, że (x_{n})_{n=1}^{∞} jest ciągiem punktów w których funkcja f jest prawostronnie ciągła. Niech n ∈ IN. Zdefiniujmy δ_{n,1} = |x_{n}−x_{n−1}|, δ_{n,2} = |x_{n} − x_{n+1}|, ε_{n} = 1/n jeżeli g(x_{n}) = 0 i ε_{n} = min(1/n, 1/(n|g(x_{n})|)) w przeciwnym przypadku. Istnieje wtedy taka dodatnia liczba δ_{n,3}, że jeśli 0 < x − x_{n} < δ_{n,3}, to |f(x)| < ε_{n}. Przyjmijmy

δ_{n} = min(δ_{n,1}/2, δ_{n,2}/2, δ_{n,3})

oraz oznaczmy przez Q_{n} prawostronną ścieżkę w punkcie x_{n} dla której |g(x) − g(x_{n})| < 1/n jeśli tylko x ∈ Q_{n}. Ponieważ E jest σ–systemem ścieżek, więc dla każdego n ∈ IN istnieje prawostronna ścieżka K_{n} w punkcie x_{n} zawarta w zbiorze Q_{n} ∩ [x_{n}, x_{n} + δ_{n}] oraz ⋃_{n=1}^{∞} K_{n} ∪ {x_{0}} zawiera pewną ścieżkę K_{0} w punkcie x_{0}. Pokażmy, że fg|K_{0} jest funkcją ciągłą w punkcie x_{0}. Niech (y_{m}) będzie takim ciągiem punktów, że y_{m} ∈ K_{0} \ {x_{0}} dla każdego m ∈ IN oraz y_{m} ↘ x_{0}. Zauważmy, że dla wszystkich m ∈ IN istnieje n_{m} ∈ IN takie, że y_{m} ∈ K_{n_{m}}. Pokażemy, że |(fg)(y_{m})| < 2/n_{m}. Rozważmy trzy przypadki:

a) g(x_{n_{m}}) ≠ 0 oraz 1/n_{m} ≤ 1/(n_{m}|g(x_{n_{m}})). Wtedy ε_{n_{m}} = 1/n_{m} oraz g(x_{n_{m}})/n_{m} ≤ 1/n_{m}. W rezultacie |fg(y_{n_{m}})| ≤ ε_{n_{m}}(|g(x_{n_{m}})| + 1/n_{m}) = (|g(x_{n_{m}})| + 1/n_{m})/n_{m} ≤ 1/n_{m} + 1/n_{m}^{2} ≤ 2/n_{m}.

b) g(x_{n_{m}}) ≠ 0 oraz 1/n_{m} ≥ 1/(n_{m}|g(x_{n_{m}})). Wtedy ε_{n_{m}} = 1/(n_{m}|g(x_{n_{m}})|) oraz |fg(y_{n_{m}})| ≤ ε_{n_{m}}(|g(x_{n_{m}})| + 1/n_{m}) = (|g(x_{n_{m}})| + 1/n_{m})/(n_{m}|g(x_{n_{m}})|) ≤ 1/n_{m} + 1/n_{m}^{2} ≤ 2/n_{m}.

c) Jeśli g(x_{n_{m}}) = 0, to ε_{n_{m}} = 1/n_{m}, a stąd |fg(y_{n_{m}})| ≤ ε_{n_{m}}(|g(x_{n_{m}})| + 1/n_{m}) = 1/n_{m}^{2} ≤ 2/n_{m}.

W konsekwencji lim_{m→∞}(fg)(y_{m}) = (fg)(x_{0}). W analogiczny sposób można wykazać lewostronną E–ciągłość funkcji (fg) w punkcie x_{0}.

Udowodnimy teraz, że M_{m}(C_{E}) ⊆ C_{E} ∩M. Załóżmy, że f ∈ C_{E} \M. Istnieje wtedy punkt x_{0} prawostronnej (lub lewostronnej) nieciągłości funkcji f dla którego zachodzi jeden z przypadków:

i) Istnieje taka δ > 0, że jeśli x ∈ (x_{0}, x_{0} + δ], to f(x) ≠ 0 oraz istnieje y ∈ K^{+}(f, x_{0}) \ {f(x_{0}), 0}. Niech

c = \{ \begin{matrix}1/y & jeżeli y ≠ ±∞ \\ c = 0 & w przeciwnym przypadku. \end{matrix}

Zdefiniujmy funkcję g w sposób następujący

g(x) = \{ \begin{matrix}c & dla x ≤ x_{0} \\ 1/f(x) & dla x ∈ (x_{0}, x_{0} + δ] \\ 1/f(x_{0} + δ) & dla x > x_{0} + δ. \end{matrix}

Ponieważ g jest E–ciągła w każdym punkcie należącym do zbioru (−∞, x_{0}) ∪ (x_{0}, ∞) oraz g(x_{0}) ∈ K^{+}(g, x_{0}), więc z lematu 3.2.2, g jest E–ciągła. Ponadto (fg)(x) = 1 dla każdego x ∈ (x_{0}, x_{0} + δ) oraz (fg)(x_{0}) ≠ 1, a stąd (fg) ∉ C_{E}. W konsekwencji f ∉ M_{m}(C_{E}).

ii) Funkcja f spełnia jeden z dwóch warunków:

a) K^{+}(f, x_{0}) = {f(x_{0}), 0} oraz istnieje δ > 0 taka, że f(x) ≠ 0 dla x ∈ (x_{0}, x_{0} + δ],

b) f(x_{0}) ≠ 0 oraz istnieje taki ciąg (x_{n})_{n=1}^{∞}, że x_{n} ↘ x_{0}, f(x_{n}) = 0.

Określmy funkcję g w poniższy sposób

g(x) = \{ \begin{matrix}f(x_{0}) & dla x ≤ x_{0} \\ f(x_{0}) − f(x) & dla x > x_{0}. \end{matrix}

Na mocy lematu 3.2.1 i twierdzenia 3.3.1 funkcja g|(−∞, x_{0}) ∪ (x_{0}, ∞) jest E–ciągła. Ponieważ 0 ∈ K^{+}(f, x_{0}), więc zbiór g|(−∞, x_{0})∪(x_{0}, ∞) jest obustronnie gęsty w g. Na mocy lematu 3.2.2, g jest funkcją E– ciągłą.

Zauważmy, że na mocy naszych założeń f(x_{0}) ≠ 0, a stąd (fg)(x_{0}) = f^{2}(x_{0}) > 0. Pokażemy, że fg ∉ PC. Niech (y_{n})_{n=1}^{∞} będzie ciągiem punktów zbiegających z prawej strony do punktu x_{0}. Jeśli lim_{m→∞} f(y_{n_{m}}) istnieje i jest równa z ∈ IR dla pewnego podciągu (y_{n_{m}})_{m=1}^{∞} ciągu (y_{n})_{n=1}^{∞}, to

lim_{m→∞}(fg)(y_{n_{m}}) = f(x_{0})z − z^{2}.

Zauważmy, że f(x_{0})z − z^{2} ≠ f^{2}(x_{0}) dla wszystkich z ∈ IR, a więc fg ∉ PC.

Jeżeli natomiast ciąg (y_{n})_{n=1}^{∞} nie posiada podciągów ograniczonych, to lim_{n→∞} |f(y_{n})| = ∞, a stąd

lim_{n→∞} fg(y_{n}) = −∞.

Tak więc fg ∉ PC i tym bardziej fg ∉ C_{E}, a stąd wynika, że f ∉ M_{m}(C_{E}).

Jeżeli funkcja f nie jest ciagła w punkcie x_{0} z lewej strony, dowód będzie przebiegał analogicznie. Lemat 3.4.2

M ⊂ Q_{0} ∩ B_{1}.

Dowód. Niech f ∈ M. Udowodnimy, że f ∈ B_{1}. W tym celu ustalmy dowolny niepusty zbiór domkniętym F. Na podstawie twierdzenia Baire’a wystarczy udowodnić, że f|F posiada punkt ciągłości. Mogą zajść dwa przypadki:

a) F ∩ C(f) ≠ ∅. Niech x_{0} ∈ F ∩ C(f). Wtedy f|F jest ciągła w punkcie x_{0}.

b) F ∩ C(f) = ∅. Z definicji rodziny M wynika, że f|F ≡ 0, a więc f|F posiada punkt ciągłości.

Na podstawie lematu 3.4.1 otrzymujemy, że f ∈ Q_{0}.

Wniosek 3.4.1 Na mocy lematów 3.1.2, 3.4.2 i twierdzenia 3.4.1 otrzymujemy

M_{m}(Q_{0}) = M_{m}(PR) = M_{m}(PC) = M_{m}(C(m)) = M_{m}(K_{2}) = M.

3.5 Operacje kratowe

Definicja 12 Niech X będzie dowolną rodziną funkcji rzeczywistych. Zbiór

M_{max}(X) = {f ∈ X : jeśli g ∈ X, to max(f, g) ∈ X }

będziemy nazywać maksymalną rodziną ze względu na operację maksimum dla klasy X,

M_{min}(X) = {f ∈ X : jeśli g ∈ X, to min(f, g) ∈ X }

maksymalną rodziną ze względu na operację minimum dla klasy X, oraz

M_{l}(X) = M_{max}(X) ∩ M_{min}(X)

maksymalną rodziną ze względu na operacje kratowe dla klasy X.

Twierdzenie 3.5.1 Jeśli E jest c-systemem ścieżek, to

M_{max}(C_{E}) = M_{min}(C_{E}) = C.

Dowód. Będziemy pokazywać, że M_{max}(X) = C (równości M_{min}(X) = C wykazuje się w sposób identyczny). Z uwagi 3.3.1 wynika, że C ⊆ M_{max}(C_{E}). Udowodnimy zawieranie w drugą stronę. Niech f ∈ C_{E}. Rozpatrzmy dwa przypadki:

i) f ∉ usc. Wtedy

f(x_{0}) < lim sup_{x→x_{0}^{+}} f(x) lub f(x_{0}) < lim sup_{x→x_{0}^{−}} f(x) dla pewnego x_{0} ∈ IR.

Bez straty na ogólności możemy założyć, że zachodzi pierwsza nierówność.

a) Jeżeli znajdziemy taki punkt y ∈ K^{+}(f, x_{0}), że f(x_{0}) < y < ∞, to przyjmijmy d = (f(x_{0}) + y)/2 oraz

g(x) = \{ \begin{matrix}f(x_{0}) & dla x ≤ x_{0} \\ 2d − f(x) & dla x > x_{0}. \end{matrix}

Z lematu 3.2.1 i twierdzenia 3.3.1, funkcje g|(x_{0}, ∞) i g|(−∞, x_{0}] są E–ciągłe. Ponieważ f(x_{0}) ∈ K^{+}(g, x_{0}), więc zbiór g|(−∞, x_{0})∪ (x_{0}, ∞) jest gęsty w g oraz na podstawie lematu 3.2.2 funkcja g jest E–ciągła wszędzie. Ponadto max(f, g)(x_{0}) = f(x_{0}) < d oraz max(f, g)(x) ≥ d dla x > x_{0}. Stąd max(f, g) ∉ PC, co implikuje, że f ∉ M_{max}(C_{E}).

b) W przeciwnym przypadku +∞ ∈ K^{+}(f, x_{0}). Określmy funkcję

g(x) = \{ \begin{matrix}f(x) & dla x ≤ x_{0} \\ f(x_{0}) + e^{−f(x)} & dla x > x_{0}. \end{matrix}

Stosując ponownie lemat 3.2.1 i twierdzenie 3.3.1 otrzymujemy, że funkcja g |((−∞, x_{0}) ∪ (x_{0}, ∞)) jest E–ciągła oraz zbiór g|((−∞, x_{0}) ∪ (x_{0}, ∞)) jest obustronnie gęsty w g, co oznacza E– ciągłość funkcji g. Sprawdźmy, że max(f, g) ∉ PC. Niech x_{n} ↘ x_{0}. Jeżeli lim sup_{n→∞} f(x_{n}) = +∞, to

lim sup_{n→∞} max(f, g)(x_{n}) ≥ lim sup_{n→∞} f(x_{n}) = ∞.

W przeciwnym przypadku

lim sup_{n→∞} max(f, g)(x_{n}) ≥ lim sup_{n→∞} g(x_{n}) ≥
f(x_{0}) + e^{− lim sup_{n→∞} f(x_{n})} > f(x_{0}) = max(f, g)(x_{0}).

Ostatecznie, f ∉ M_{max}(C_{E}). ii) f ∈ usc. Załóżmy, że f jest prawostronnie nieciągła w punkcie x_{0}

z prawej strony. Znajdziemy wtedy punkt y ∈ K^{+}(f, x_{0}) mniejszy od wartości funkcji f w punkcie x_{0}. Niech d = (f(x_{0}) + y)/2 jeśli y ≠ −∞ oraz d = f(x_{0}) − 1 w przeciwnym przypadku. Ponieważ funkcja f jest półciągła z góry, więc G = {x : f(x) < d} ∩ (x_{0}, ∞) jest niepustym zbiorem otwartym. Ustawmy w ciąg (I_{n})_{n=1}^{∞} wszystkie składowe zbioru G. Dla każdego n ∈ IN niech (I_{n,k})_{n,k=1}^{∞} będzie ciągiem przedziałów otwartych o końcach wymiernych zawartych w I_{n}. W każdym z przedziałów I_{n,k} możemy wybrać zbiór Cantora C_{n,k} w taki sposób, że jeśli (n, m) ≠ (k, p), to C_{n,k} ∩ C_{m,p} = ∅. Zdefiniujmy zbiór C = (−∞, x_{0}] ∪ ⋃_{n=1}^{∞} ⋃_{k=1}^{∞} C_{n,k} oraz funkcję

g(x) = \{ \begin{matrix}d & jeśli x ∈ C \\ f(x_{0}) + 1 & jesli x ∈ IR \ C \end{matrix}

Sprawdźmy, że g jest prawostronnie E–ciągła w każdym punkcie.

a) Jeżeli x ∈ (−∞, x_{0}), to g|(−∞, x_{0}) jest funkcją stałą, a zatem g jest prawostronnie E-ciągła.

b) Załóżmy, że x ∈ ⋃_{n=1}^{∞} ⋃_{k=1}^{∞} C_{n,k} ∪ {x_{0}}. Wtedy punkt x należy do pewnego przedziału I_{n}. Niech m_{0} = min{m ∈ IN; (x + 1/(m + 1), x + 1/m) ⊂ I_{n}}, U_{m} = (x + 1/(m + 1), x + 1/m) dla m > m_{0}. W każdym ze zbiorów U_{m} możemy wybrać przedział I_{n,k_{m}}, a w nim zbiór Cantora C_{n,k_{m}}. W łatwy sposób można sprawdzić, że P_{x} = ⋃_{m=m_{0}}^{∞} C_{n,k_{m}} ∪ {x} jest prawostronną ścieżką funkcji g w punkcie x.

c) Przypuśćmy, że x ∈ IR \ C. Niech U_{n} = (x + 1/(n + 1), x + 1/n) dla n ∈ IN. Ponieważ U_{n} \ C jest zbiorem nieprzeliczlnym typu G_{δ}, więc zawiera on pewien zbiór Cantora K_{n}. Wtedy zbiór R_{x} = ⋃_{n=1}^{∞} K_{n}∪{x} jest prawostronną ścieżką w punkcie x oraz funkcja g|R_{x} jest ciągła w x.

W podobny sposób konstruujemy lewostronną ścieżkę funkcji g w punkcie x.

Zauważmy, że max(f, g)(x_{0}) = f(x_{0}) i max(f, g)(x) = d < f(x_{0}) lub max(f, g)(x) ≥ f(x_{0})+1 jeśli x ≥ x_{0}. To implikuje, że max(f, g) ∉ PC i stąd f ∉ M_{max}(C_{E}).

Uwaga 3.5.1 Zauważmy, że system ścieżek wymierno-niewymiernych zdefiniowany w przykładzie (g) rozdziału 3.1 nie spełnia założeń i tez twierdzeń 3.3.1, 3.4.1 i 3.5.1. W twierdzeniach tych zatem nie da się pominąć założenia o σ–typie systemu ścieżek E.

Wniosek 3.5.1

M_{max}(PR) = M_{max}(PC) = M_{max}(C(m)) = C,

M_{min}(PR) = M_{min}(PC) = M_{min}(C(m)) = C,
M_{l}(PR) = M_{l}(PC) = M_{l}(C(m)) = C.

3.6 Składanie funkcji E–ciągłych

Definicja 13 Niech X będzie pewną klasą funkcji rzeczywistych. Oznaczmy

M_{out}(X) = {f ∈ X; ∀_{g∈X} f ∘ g ∈ X }

oraz

M_{in}(X) = {f ∈ X; ∀_{g∈X} g ∘ f ∈ X }

(patrz [11]).

Twierdzenie 3.6.1 Jeżeli E jest σ–systemem ścieżek, to M_{out}(C_{E}) = C.

Dowód. Zawieranie C ⊆ M_{out}(C_{E}) wynika z lematu 3.2.1. Zajmijmy się zatem zawieraniem przeciwnym. Niech g będzie dowolną funkcją E-ciągłą oraz y_{0} punktem prawostronnej nieciągłości funkcji g. Niech y ∈ K^{+}(g, y_{0}) \ {g(y_{0})}. Przyjmijmy za c = |y−g(y_{0})| jeśli |y| ≠ ∞ oraz c = 1 w przeciwnym przypadku. Istnieje wtedy ciąg (y_{n})_{n=1}^{∞} taki, że y_{n} ↘ y_{0}, lim_{n→∞} g(y_{n}) = y i |g(y_{n}) − g(y_{0})| > c/2 dla każdego n ∈ IN. Na mocy lematu 3.1.1 istnieje E-ciągła funkcja f mająca tę własność, że f(IR \ {0}) = {y_{n}; n ∈ IN} oraz f({0}) = {y_{0}}. Wtedy dla dowolnego x ≠ 0 istnieje takie n ∈ IN, że |g ∘ f(x) − g ∘ f(0)| = |g(y_{n}) − g(y_{0})| > c/2 > 0. W konsekwencji g ∘ f(0) ∉ K^{+}(g ∘ f, 0) oraz g ∘ f ∉ C_{E}, co kończy dowód twierdzenia. Wniosek 3.6.1

M_{out}(PC) = M_{out}(PR) = M_{out}(K_{2}) = M_{out}(Q_{0}) = M_{out}(C(m)) = C.

Lemat 3.6.1 Niech E będzie σ-systemem ścieżek, f funkcją E-ciągłą, x ∈ IR oraz x_{n} ↘ x (y_{n} ↗ x). Wtedy istnieje taka prawostronna ścieżka R_{x} ∈ E (lewostronna ścieżka L_{x} ∈ E), że f|R_{x} (f|L_{x}) jest funkcją ciągłą w punkcie x oraz zbiór (x_{n+1}, x_{n})∩R_{x} ((y_{n}, y_{n+1})∩L_{x}) zawiera ścieżkę E_{n} dla nieskończenie wielu n ∈ IN.

Dowód. Niech P_{x} będzie prawostronną ścieżką funkcji f w punkcie x oraz (n_{m})_{m=1}^{∞} będzie takim rosnącym ciągiem liczb naturalnych, że A_{m} = (x_{n_{m}+1}, x_{n_{m}}) ∩ P_{x} ≠ ∅. Dla każdego m ∈ IN oznaczmy przez y_{m} dowolny punkt ze zbioru A_{m}. Ponieważ funkcja f jest E–ciągła, więc istnieją ścieżki E_{m} w punktach y_{m} takie, że E_{m} ⊂ (x_{n_{m}+1}, x_{n_{m}}) oraz |f(y_{m})−f(y)| < 1/2^{m} dla y ∈ E_{m}, m ∈ IN. Wtedy dla y ∈ R_{x} = ⋃_{m=1}^{∞} E_{m} mamy |f(x) − f(y)| ≤ |f(x) − f(y_{m})| + |f(y_{m}) − f(y)| = |f(x) − f(y_{m})| + 1/2^{m}, a stąd

lim_{y∈R_{x}^{y→x^{+}}} f(z) = f(x).

Twierdzenie 3.6.2 Dla dowolnego σ–systemu ścieżek E zachodzi zawieranie EIV P ⊂ M_{in}(C_{E}).

Dowód. Niech f ∈ EIV P oraz g ∈ C_{E}. Ustalmy x ∈ IR. Pokażemy, że funkcja g ∘ f ma prawostronną ścieżkę w punkcie x. Jeżeli f|R_{x} ≡ f(x) dla pewnej ścieżki R_{x} w punkcie x, to g∘f|R_{x} ≡ g(f(x)), a więc g∘f jest E–ciągła w punkcie x. W przeciwnym przypadku istnieje ciąg (x_{n})_{n=1}^{∞} taki, że x_{n} ↘ x i f(x_{n}) jest monotonicznie zbieżny do f(x). Załóżmy, że f(x_{n+1}) < f(x_{n}). Na mocy lematu 3.6.1 istnieje ścieżka E_{f(x)} w punkcie f(x) taka, że g|E_{f(x)} jest funkcją ciągłą w punkcie f(x) oraz zbiory E_{f(x)} ∩ (f(x_{n_{m}+1}), f(x_{n_{m}})) zawierają ścieżkę E_{m} dla wszystkich m ∈ IN. Ponieważ f ∈ EIV P oraz E_{m} ⊆ (f(x_{n_{m}+1}), f(x_{n_{m}})), więc istnieje ścieżka F_{m} ⊆ (x_{n_{m}+1}, x_{n_{m}}), dla której f(F_{m}) ⊆ E_{m}. Zauważmy, że E_{x} = ⋃_{m=1} F_{m} ∪ {x} jest prawostronną ścieżką w punkcie x oraz g ∘ f|E_{x} jest funkcją ciągłą w x. W ten sam sposób dowodzi się istnienia lewostronnej ścieżki funkcji f w punkcie x.

Uwaga 3.6.1 Jeżeli E jest σ-systemem ścieżek oraz f ∈ Econst, to g ∘f jest funkcją E-ciągłą dla każdej E-ciągłej funkcji g. Ponieważ EIV P ⊄ Econst, więc M_{in}(C_{E}) ⊄ EIV P (patrz uwaga 4.1.4).

Problem 1 W jaki sposób można scharakteryzować M_{in}(C_{E})?

3.7 Reprezentacje

Przyjmijmy, że jeżeli w treściach twierdzeń i lematów nie będziemy zakładać inaczej, to wszystkie rozpatrywane w tym rozdziale systemy ścieżek E są typu c. Niech (I_{k})_{k=1}^{∞} będzie ciągiem otwartych przedziałów na prostej rzeczywistej o końcach wymiernych. Oznaczmy przez (q_{n})_{n=1}^{∞} ciąg wszystkich liczb wymiernych różnych od zera. W dowodach lematów i twierdzeń będziemy korzystać z faktu, iż w każdym z przedziałów I_{k} jesteśmy w stanie wybrać ciąg zbiorów Cantora (C_{k,n})_{n=1}^{∞} takich, że

a) C_{k,n} ∩ C_{m,p} = ∅ dla (k, n) ≠ (m, p),

b) C_{k,n} ⊂ I_{k} dla k, n ∈ IN

(patrz dowód przykładu 3.1.1). Ponadto, ponieważ dowolny zbiór Cantora C jest homeomorficzny z iloczynem kartezjańskim dwóch zbiorów Cantora [9], więc można go przedstawić w postaci nieprzeliczalnej sumy

⋃_{α<ω_{c}} C_{α}

zbiorów Cantora.

3.7.1 Sumy

Twierdzenie 3.7.1 Dla każdej funkcji f : IR → IR istnieją dwie funkcje E–ciągłe g i h takie, że f = g + h. Ponadto jeżeli f jest funkcją mierzalną, α klasy Baire’a (α ≥ 2), lub z własnością Baire’a, to funkcje g i h również są mierzalne, α klasy Baire’a, lub z własnością Baire’a.

Dowód. Wystarczy przyjąć

g(x) = \{ \begin{matrix}q_{n} & dla x ∈ C_{k,2n}, k, n ∈ IN \\ f(x) − q_{n} & dla x ∈ C_{k,2n+1}, k, n ∈ IN \\ f(x) & w przeciwnym przypadku \end{matrix}

oraz

h(x) = \{ \begin{matrix}f(x) − q_{n} & dla x ∈ C_{k,2n}, k, n ∈ IN \\ q_{n} & dla x ∈ C_{k,2n+1}, k, n ∈ IN \\ 0 & w przeciwnym przypadku. \end{matrix}

Funkcja g jest E–ciągła w każdym punkcie będącym punktem obustronnego skupienia zbioru C_{k,2n}, k, n ∈ IN, a więc z lematu 3.2.2, g jest E–ciągła. W analogiczny sposób można wykazać E–ciągłość funkcji h. Pozostałe tezy twierdzenia wynikają z następującej równości:

g = ⋃_{n=1}^{∞} ⋃_{k=1}^{∞} g|C_{k,2n} ∪ ⋃_{n=1}^{∞} ⋃_{k=1}^{∞} g|C_{k,2n+1} ∪ f|(IR \ ⋃_{n=1}^{∞} ⋃_{k=1}^{∞} C_{k,n}).

Jeżeli funkcja f jest α klasy Baire’a (α ≥ 2), to jej składowe zdefiniowane na zbiorach borelowskich drugiej klasy są również klasy α. W podobny sposób można udowodnić, że g jest funkcją mierzalną, lub z własnością Baire’a przy założeniu mierzalności bądź własności Baire’a funkcji f. Używając identycznych argumentów dowodzi się powyższych własności dla funkcji h.

3.7.2 Iloczyny

Twierdzenie 3.7.2 Dla każdej funkcji f : IR → IR istnieją dwie funkcje E–ciągłe g i h takie, że f = gh. Ponadto jeżeli f jest funkcją mierzalną, z własnością Baire’a, lub α klasy Baire’a (α ≥ 2), to funkcje g i h również są mierzalne, z własnością Baire’a, lub α klasy Baire’a.

Dowód. Niech

g(x) = \{ \begin{matrix}q_{n} & jeśli x ∈ C_{k,2n}, k, n ∈ IN \\ f(x)/q_{n} & jeśli x ∈ C_{k,2n+1}, k, n ∈ IN \\ f(x) & w przeciwnym przypadku \end{matrix}

oraz

h(x) = \{ \begin{matrix}f(x)/q_{n} & jeśli x ∈ C_{k,2n}, k, n ∈ IN \\ q_{n} & jeśli x ∈ C_{k,2n+1}, k, n ∈ IN \\ 1 & w przeciwnym przypadku. \end{matrix}

Z konstrukcji funkcji g i h wynika, że f = gh. Dowód pozostałych faktów przebiega analogicznie jak w dowodzie twierdzenia 3.7.1.

3.7.3 Maksima i minima

Twierdzenie 3.7.3 Każdą funkcją f : IR → IR można przedstawić jako

f = min(max(f_{1}, f_{2}), max(f_{3}, f_{4}))

gdzie f_{1}, f_{2}, f_{3}, f_{4} są funkcjami E–ciągłymi. Są one również funkcjami mierzalnymi, α klasy Baire’a (α ≥ 2), lub z własnością Baire’a, jeśli f ma odpowiednio jedną z tych własności.

Dowód. Połóżmy

f_{i}(x) = \{ \begin{matrix}q_{n} & dla x ∈ C_{k,4n−i+1}, & k, n ∈ IN \\ f(x) & w przeciwnym przypadku \end{matrix}

oraz D_{i} = ⋃_{k=1}^{∞} ⋃_{n=1}^{∞} C_{k,4n−i+1} dla i = 1, 2, 3, 4. Funkcje f_{i} są E–ciągłe (patrz lemat 3.2.2). Będziemy sprawdzać, że

f = min(max(f_{1}, f_{2}), max(f_{3}, f_{4})).  (3.1)

a) Jeżeli x ∉ ⋃_{i=1}^{4} D_{i},to f_{1}(x) = f_{2}(x) = f_{3}(x) = f_{4}(x) = f(x), a stąd warunek (3.1) jest spełniony.

b) Jeśli x ∈ D_{1}, to x ∉ ⋃_{i=2}^{4} D_{i} i wtedy f_{2}(x) = f_{3}(x) = f_{4}(x) = f(x). Przy założeniu f_{1}(x) ≤ f(x) mamy max(f_{1}, f_{2})(x) = f(x), a stąd

f(x) = min[max(f_{1}(x), f_{2}(x)), max(f_{3}(x), f_{4}(x))].

W przeciwnym przypadku f_{1}(x) > f(x) oraz

f(x) = min[max(f_{1}(x), f_{2}(x)), max(f_{3}(x), f_{4}(x))].

c) Dla x ∈ D_{2} ∪ D_{3} ∪ D_{4} postępujemy w sposób analogiczny jak w punkcie poprzednim.

Uwaga 3.7.1 Jeśli (−f) = min(max(f_{1}, f_{2}), max(f_{3}, f_{4})), to

f = max(min(−f_{1}, −f_{2}), min(−f_{3}, −f_{4})),

co pokazuje, że max i min można zamienić miejscami.

Twierdzenie 3.7.4 Niech f : IR → IR. Wtedy następujące warunki są równoważne:

(a) istnieją funkcje g, h ∈ PR ∩ D takie, że f = max(g, h),

(b) istnieją funkcje g, h ∈ PR takie, że f = max(g, h),

(c) dla każdego x ∈ IR znajdziemy takie zbiory doskonałe R, L, których x jest odpowiednio prawostronnym i lewostronnym punktem skupienia, dla których istnieją granice (mogą być niewłaściwe)

lim_{z∈R\{x}^{z→x^{+}}} f(z), lim_{z∈L\{x}^{z→x^{−}}} f(z)

oraz zachodzi poniższa nierówność

f(x) ≤ min( lim_{z∈R\{x}^{z→x^{+}}} f(z), lim_{z∈L\{x}^{z→x^{−}}} f(z)).

Będziemy mówić, że R (L) jest górną doskonałą drogą funkcji f w punkcie x z prawej (lewej) strony.

Dowód. (a) ⇒ (b) Oczywisty.

(b) ⇒ (c) Ustalmy x ∈ IR oraz oznaczmy przez

y_{g} = lim sup_{z→x^{+}} g(z) i y_{h} = lim sup_{z→x^{+}} h(z).

Wtedy na mocy lematu 3.2.2 funkcje

g_{1}(z) = \{ \begin{matrix}y_{g} & dla z = x \\ g(z) & dla z ≠ x \end{matrix} ,

h_{1}(z) = \{ \begin{matrix}y_{h} & dla z = x \\ h(z) & dla z ≠ x \end{matrix}

mają prawostronną doskonałą drogę w każdym punkcie. Istnieją więc zbiory doskonałe R_{g}, R_{h}, których x jest prawostronnym punktem skupienia takie, że

lim_{z∈R_{g}\{x}^{z→x^{+}}} g(z) = y_{g}, lim_{z∈R_{h}\{x}^{z→x^{+}}} h(z) = y_{h}.

Możemy bez straty na ogólności przyjąć, że y_{h} ≤ y_{g}. Wtedy

lim inf_{z∈R_{g}\{x}^{z→x^{+}}} max(g(z), h(z)) ≥ lim inf_{z∈R_{g}\{x}^{z→x^{+}}} g(z) = y_{g},

lim sup_{z∈R_{g}\{x}^{z→x^{+}}} max(g(z), h(z)) = max( lim_{z∈R_{g}\{x}^{z→x^{+}}} g(z), lim sup_{z∈R_{g}\{x}^{z→x^{+}}} h(z)) ≤

≤ max(y_{g}, lim sup_{z∈R_{g}\{x}^{z→x^{+}}} h(z)) ≤ max(y_{g}, y_{h}) = y_{g}

oraz R_{g} jest prawostronną, górną doskonałą drogą funkcji f w punkcie x. W analogiczny sposób można skonstruować lewostronną, górną doskonałą drogę funkcji f w punkcie x.

(c) ⇒ (a) Niech S = (S_{n})_{n=1}^{∞} będzie ciągiem otwartych przedziałów w IR^{2} postaci (q_{1}, q_{2})×(q_{3}, +∞), gdzie q_{1}, q_{2}, q_{3} są takimi liczbami wymiernymi, dla których istnieje niepusty zbiór doskonały P ⊂ P r_{x}(f ∩S_{n}). Na mocy lematu 2 [15] znajdziemy ciąg parami rozłącznych niepustych zbiorów doskonałych (P_{n})_{n=1}^{∞} takich, że P_{2n}, P_{2n−1} ⊂ P r_{x}(S_{n}∩f). Przedstawmy każdy ze zbiorów P_{n} jako sumę parami rozłącznych, niepustych zbiorów doskonałych (P_{n,α})_{α<ω_{c}} to znaczy P_{n} = ⋃_{α<ω_{c}} P_{n,α}. Dla wszystkich n ∈ IN określmy a_{n} = inf P r_{y}(S_{n}). Ustawmy w ciąg pozaskończony (x_{n,α})_{α<ω_{c}} wszystkie liczby rzeczywiste nie większe niż a_{n}. Niech

g(x) = \{ \begin{matrix}x_{n,α} & jeśli x ∈ P_{2n,α}, n ∈ IN, α < ω_{c} \\ f(x) & w przeciwnym przypadku \end{matrix}

oraz

h(x) = \{ \begin{matrix}x_{n,α} & dla x ∈ P_{2n+1,α}, n ∈ IN, α < ω_{c} \\ f(x) & w przeciwnym przypadku. \end{matrix}

Wtedy max(g, h) = f, gdyż

i) dla x ∉ ⋃_{n=1}^{∞} P_{n} mamy g(x) = h(x) = f(x), ii) jeśli x ∈ P_{2n} dla pewnego n ∈ IN, to g(x) ≤ a_{n} i h(x) = f(x) > a_{n}, iii) jeżeli x ∈ P_{2n+1} dla pewnego n ∈ IN, to g(x) = f(x) > a_{n} oraz h(x) ≤ a_{n}. Niech x będzie dowolną liczbą rzeczywistą. Pokażemy, że funkcja g ma doskonałą drogę w punkcie x. Wybierzmy dwa ciągi liczb rzeczywistych (x_{m})_{m=1}^{∞}, (y_{m})_{m=1}^{∞} takie, że x_{m} ↘ x, f(x_{m}) > y_{m} oraz y_{m} → g(x). Niech (n_{m})_{m=2}^{∞} będzie rosnącym ciągiem liczb naturalnych wybranym w taki sposób, że

S_{n_{m}} ⊆ ((x_{m+1} + x_{m})/2, (x_{m} + x_{m−1})/2) × (y_{m}, +∞)

(taki ciąg n_{m} znajdziemy ponieważ funkcja f ma górną doskonałą drogę w punkcie x). Wtedy dla każdego m ∈ IN istnieje α_{m} < ω_{c}, dla którego x_{n_{m},α_{m}} = y_{m}. Ponato R = ⋃_{m=1}^{∞} P_{2n_{m},α_{m}} ∪ {x} jest zbiorem doskonałym, x jest jego prawostronnym punktem skupienia oraz

lim_{z∈R\{x}^{z→x^{+}}} g(z) = lim_{m→∞} y_{m} = g(x).

W podobny sposób dowodzi się istnienie lewostronnej doskonałej drogi funkcji g w punkcie x. Na koniec pokażmy, że g ma własność Darboux. Przypuśćmy, że a < b oraz g(a) < λ < g(b). Korzystając z faktu, że funkcja f posiada lewostronną górną doskonałą drogę w punkcie b, znajdziemy taki zbiór doskonały P ⊆ (a, b), że f(x) > λ dla x ∈ P. Stąd S_{n} ⊆ (a, b) × (λ, ∞) dla pewnego n ∈ IN oraz λ = x_{n,α} przy pewnym α < ω_{c}, a więc dla wszystkich x ∈ P_{2n,α} otrzymujemy, że a < x < b oraz g(x) = λ. W analogiczny sposób wykazuje się, że h ∈ PR ∩ D.

Dowód następnego twierdzenia przebiega anlogicznie.

Twierdzenie 3.7.5 Niech E będzie σ–systemem ścieżek oraz f : IR → IR. Jeżeli dla dowolnej przliczalnej podrodziny {E_{n} : n ∈ IN} ⊂ E istnieje rodzina parami rozłacznych, niepustych ścieżek P_{n} ⊆ E_{n} dla n ∈ IN, to następujące warunki są równoważne:

(a) f = max(g, h) dla pewnych E–ciągłych funkcji g, h,

(b) dla każdego x ∈ IR istnieją prawostronna ścieżka R w punkcie x i lewostronna ścieżka L w tym punkcie, dla których granice

lim_{z∈R\{x}^{z→x^{+}}} f(z), lim_{z∈L\{x}^{z→x^{−}}} f(z)

istnieją (mogą być nieskończone) oraz

f(x) ≤ min( lim_{z∈R\{x}^{z→x^{+}}} f(z), lim_{z∈L\{x}^{z→x^{−}}} f(z)).

Uwaga 3.7.2 Klasy funkcji PC, K_{2} oraz C(m) (ω_{0} < m ≤ ω_{1}) spełniają założenia twierdzenia 3.7.5.

3.7.4 Granice jednostajne

Twierdzenie 3.7.6 Jeżeli E jest δ-systemem ścieżek, (f_{n})_{n=1}^{∞} jest ciągiem funkcji E–ciągłych, zbieżnym jednostajnie do funkcji f, to f jest funkcją σE– ciągłą.

Dowód. Ustalmy x_{0} ∈ IR. Pokażemy, że funkcja f ma w punkcie x_{0} prawostronną σE–ścieżkę. Niech m ∈ IN. Istnieje wtedy takie n_{m} ∈ IN, że

∥f_{n} − f∥ < 1/(4m) dla każdego n ≥ n_{m}.

Oznaczmy przez E_{m} tę ścieżkę z rodziny E(x_{0}), która spełnia warunek

|f_{n_{m}}(x) − f_{n_{m}}(x_{0})| < 1/(4m) dla każdego x ∈ E_{m}.

Zauważmy, że istnieją wtedy dwa ciągi dodatnich liczb rzeczywistych (γ_{m}^{1}), (γ_{m}^{2}) takie, że γ_{m+1}^{2} < γ_{m}^{1} < γ_{m}^{2} < γ_{m−1}^{1}, γ_{m}^{1} → 0^{+} oraz F_{m} = E_{m} ∩ (x_{0} + γ_{m}^{1}, x_{0} + γ_{m}^{2}) ≠ ∅. Niech x_{m} ∈ F_{m} oraz K_{m} ⊆ [x_{0} + γ_{m}^{1}, x_{0} + γ_{m}^{2}] będzie taką E–ścieżką w punkcie x_{m}, że

jeżeli y ∈ K_{m}, to |f_{n_{m}}(y) − f_{n_{m}}(x_{m})| < 1/(4m).

Wtedy zbiór ⋃_{m=1}^{∞} K_{m}∪{x_{0}} zawiera prawostronną σE–ścieżkę R_{x_{0}} w punkcie x_{0}. Dla dowolnie wybranego ε > 0 istnieje m ∈ IN dla którego 1/m < ε i jeśli x ∈ R_{x_{0}} oraz 0 < x − x_{0} < γ_{m}^{2}, to |f(x) − f(x_{0})| ≤ |f(x) − f_{n_{m}}(x)| + |f_{n_{m}}(x) − f_{n_{m}}(x_{m})| + |f_{n_{m}}(x_{m}) − f_{n_{m}}(x_{0})| + |f_{n_{m}}(x_{0}) − f(x_{0})| = 1/m < ε. W podobny sposób możemy udowodnić, że f jest lewostronnie σE–ciągła w punkcie x_{0}.

Wniosek 3.7.1 Jeżeli E jest σ-systemem ścieżek, to granica jednostajnie zbieżnego ciągu funkcji E–ciągłych jest funkcją E–ciągłą.

Przykład 3.7.1 Istnieje δ system ścieżek E oraz funkcja σE ciągła f, która nie jest granicą jednostajnie zbieżnego ciągu funkcji E–ciągłych.

Dowód. Jeśli za E(x) przyjąć wszystkie otoczenia otwarte punktu x oraz E = {E(x), x ∈ IR}, to C_{E} = C. Rodzina wszystkich funkcji σE–ciągłych równa jest klasie wszystkich funkcji obustronnie quasi-ciągłych (Q_{0}) oraz dowolna nieciągła funkcja σE–ciągła (np. funkcja z lematu 3.1.1) nie jest granicą jednostajnie zbieżnego ciągu funkcji ciągłych.

Uwaga 3.7.3 Założenie w twierdzeniu 3.7.1, że E jest σ systemem ścieżek jest istotne.

Dowód. Przedstawmy prostą rzeczywistą w postaci przeliczalnej sumy gęstych, parami rozłącznych zbiorów ⋃_{k=1}^{∞} A_{k}. Niech

E(x) = {(A_{k} ∩ (x − δ, x + δ)) ∪ {x}; δ > 0, k ∈ IN}, E = {E(x); x ∈ IR}.

Określmy ciąg funkcyjny (f_{n})_{n=1}^{∞} w następujący sposób:

f_{n}(x) = \{ \begin{matrix}1/k & dla x ∈ A_{k} \ \{0\} & k ∈ IN \\ 1/n & dla x = 0 \end{matrix} .

Wtedy f_{n} ∈ C_{E} dla dowolnego n ∈ IN oraz f_{n} jest zbieżny jednostajnie do funkcji

f(x) = \{ \begin{matrix}1/k & dla x ∈ A_{k} \ \{0\} & k ∈ IN \\ 0 & dla x = 0 \end{matrix} .

Zauważmy, że funkcja f nie posiada ścieżki w punkcie x = 0, gdyż dla każdej ścieżki E_{0} ∈ E w tym punkcie, f|(E_{0} \ {0}) jest funkcją stale równą 1/k dla pewnego k ∈ IN, a f(0) = 0.

3.7.5 Granice punktowe

Twierdzenie 3.7.7 Dowolna funkcja rzeczywista f jest granicą punktowo zbieżnego ciągu funkcji E–ciągłych (f_{n})_{n=1}^{∞} z własnością Darboux. Ponadto, jeżeli f jest funkcją mierzalną, α klasy Baire’a (α ≥ 2), lub z własnością Baire’a, to można ją przedstawić w postaci granicy punktowo zbieżnego ciągu funkcji (g_{n})_{n=1}^{∞} mierzalnych, α klasy Baire’a, czy z własnością Baire’a.

Dowód. Przedstawmy każdy ze zbiorów C_{k,n} jako sumę ⋃_{α<ω_{c}} C_{k,n,α} parami rozłącznych zbiorów doskonałych [9]. Niech (x_{α})_{α<ω_{c}} będzie pozaskończonym ciągiem wszystkich liczb rzeczywistych, a {q_{α}}_{α<ω_{0}} ciągiem wszystkich liczb wymiernych. Połóżmy

D_{n,α} = ⋃_{k=1}^{∞} C_{k,n,α},

f_{n}(x) = \{ \begin{matrix}x_{α} & dla x ∈ D_{n,α} , α < ω_{c} \\ f(x) & w przeciwnym przypadku, \end{matrix}

g_{n}(x) = \{ \begin{matrix}q_{α} & dla x ∈ D_{n,α} , α < ω_{0} \\ f(x) & w przeciwnym przypadku, \end{matrix}

dla n ∈ IN. Ustalmy n ∈ IN. Jeżeli

P_{n} = {x ∈ C′_{k,n,α}; k ∈ IN, α < ω_{c}}

(C′_{k,n,α} oznacza obustronną pochodną zbioru C_{k,n,α}), to wykres funkcji f_{n}|P_{n} jest gęsty w f_{n}. Ponadto funkcja f_{n} jest E–ciągła w każdym punkcie x ∈ P_{n}. Zatem na mocy lematu 3.2.2 f_{n} jest funkcją E–ciągłą. W analogiczny sposób dowodzi się E–ciągłość funkcji g_{n}. Ponieważ funkcja f_{n} w dowolnym przedziale otwartym przyjmuje wszystkie wartości rzeczywiste, więc posiada własność Darboux. Pokażemy, że

f(x) = lim_{n→∞} f_{n}(x).  (3.2)

Wybierzmy dowolny x ∈ IR. Wtedy jeżeli x ∉ ⋃_{n=1}^{∞} ⋃_{α<ω_{c}} D_{n,α}, to f_{n}(x) = f(x) dla wszystkich n ∈ IN. Jeśli x ∈ D_{n_{0},α} dla pewnego n_{0} ∈ IN i α < ω_{c}, to x ∉ D_{n,α} dla n > n_{0}, α < ω_{c}, a więc f_{n}(x) = f(x) dla n > n_{0}, co kończy dowód (3.2). W analogiczny sposób pokazuje się, że f(x) = lim_{n→∞} g_{n}(x). Ponieważ dla dowolnego zbioru otwartego G

f_{n}^{−1}(G) = (f^{−1}(G) ∩ (IR \ A)) ∪ B gdzie

A, B ⊂ ⋃_{n=1}^{∞} ⋃_{k=1}^{∞} C_{k,n}

są zbiorami pierwszej kategorii, miary zero, więc jeżeli f jest funkcją mierzalną, lub z własnością Baire’a, to f_{n} też jest mierzalna, lub odpowiednio z własnością Baire’a. Jeżeli funkcja f jest klasy Baire’a α (α ≥ 2), to

g_{n}^{−1}(G) = (f^{−1}(G) ∩ (IR \ A)) ∪ B

gdzie zbiory A i B są przeliczalnymi sumami zbiorów Cantora. Stąd g_{n} jest również klasy Baire’a α.

3.7.6 Granice pozaskończone

Definicja 14 Funkcja f jest granicą pozaskończonego ciągu funkcji (f_{α})_{α<ω_{1}} (co zapisujemy f = lim_{α→ω_{1}} f_{α}), jeżeli dla każdego ε > 0 i x ∈ IR istnieje α < ω_{1} taka, że |f(x) − f_{β}(x)| < ε dla wszystkich β > α.

Twierdzenie 3.7.8 Dowolna funkcja f jest granicą pozaskończonego ciągu funkcji E–ciągłych (f_{α})_{α<ω_{1}}. Jeżeli f jest funkcją mierzalną, γ klasy Baire’a (γ ≥ 2), lub z własnością Baire’a, to dla α < ω_{1} funkcje f_{α} mogą również być odpowiednio mierzalne, γ klasy Baire’a (γ ≥ 2), lub z własnością Baire’a.

Dowód. Dla każdego k, n ∈ IN niech C_{k,n} = ⋃_{α<ω_{1}} C_{k,n,α} gdzie (C_{k,n,α}) jest rodziną parami rozłącznych zbiorów Cantora. Oznaczmy przez (q_{n})_{n=1}^{∞} ciąg wszystkich liczb wymiernych, przez

D_{n,α} = ⋃_{k=1}^{∞} C_{k,n,α}

oraz zdefiniujmy funkcje

f_{α}(x) = \{ \begin{matrix}q_{n} & dla x ∈ D_{n,α}, n ∈ IN \\ f(x) & w przeciwnym przypadku \end{matrix}

dla α < ω_{1}. Na mocy lematu 3.2.2 funkcje f_{α} są E–ciągłe. Pokażmy, że

f(x) = lim_{α→ω_{1}} f_{α}(x).  (3.3)

Niech x ∈ IR. Wtedy dla x ∉ ⋃_{n=1}^{∞} ⋃_{α<ω_{1}} D_{n,α}, mamy f_{α}(x) = f(x) dla wszystkich α < ω_{1}, a więc warunek (3.3) jest spełniony. W przeciwnym przypadku x ∈ D_{n,β} dla pewnych β < ω_{1} i n ∈ IN. Ponieważ zbiory D_{k,α} są rozłączne, więc x ∉ D_{k,α} dla α > β i k ∈ IN, a stąd f_{α}(x) = f(x) dla α > β. Dowód drugiej części twierdzenia przebiega analogicznie jak w twierdzeniu 3.7.7.

3.7.7 Składanie

Lemat 3.7.1 Istnieje funkcja f : IR → IR różnowartościowa, E-ciągła, drugiej klasy Baire’a, o tej własności, że f(IR) jest zbiorem nieprzeliczalnym typu F_{σ}, pierwszej kategorii, miary Lebesgue’a zero.

Dowód. Ponieważ każde dwa zbiory Cantora są homeomorficzne, więc dla dowolych n, k ∈ IN istniej ciągła, wzajemnie jednoznaczna funkcja f_{k,n} odwzorowująca zbiór Cantora C_{k,n} na zbiór C_{n,k}. Oznaczmy przez C dowolny zbiór doskonały, nigdzie gęsty, miary zero, zawarty w zbiorze

IR \ ⋃_{k=1}^{∞} ⋃_{n=1}^{∞} C_{k,n}.

W. Sierpiński w [14] pokazał, że istnieje wzajemnie jednoznaczna funkcja pierwszej klasy Baire’a φ : IR \ ⋃_{k=1}^{∞} ⋃_{n=1}^{∞} C_{k,n} ⟶ C. Niech

f(x) = \{ \begin{matrix}f_{k,n}(x) & dla x ∈ C_{k,n}, k, n ∈ IN \\ φ(x) & w przeciwnym przypadku \end{matrix} .

Wtedy f(IR) = ⋃_{n=1}^{∞} ⋃_{k=1}^{∞} C_{n,k} ∪ C jest zbiorem pierwszej kategorii, miary zero, typu F_{σ}, natomiast funkcja f jest injekcją. Ponadto dla dowolnego zbioru otwartego G mamy

f^{−1}(G) = φ^{−1}(G) ∪ ⋃_{k,n=1}^{∞} f_{k,n}^{−1}(G).  (3.4)

Ponieważ φ ∈ B_{1} na zbiorze typu G_{δ}, więc pierwszy składnik sumy 3.4 jest zbiorem typu G_{δσ}. Z ciągłości funkcji f_{k,n} otrzymujemy, że drugi składnik sumy 3.4 jest typu F_{σ}, a stąd f^{−1}(G) jest zbiorem typu G_{δσ}, co pokazuje, że f jest funkcją drugiej klasy Baire’a. Zauważmy, że zbiór f|H, gdzie

H = {x ∈ C′_{k,n}; k, n ∈ IN}

(C′_{k,n} oznacza tu obustronną pochodną zbioru C_{k,n}), jest obustronnie gęsty w wykresie funkcji f oraz dla x ∈ H ∩ C_{k,n}, k, n ∈ IN, f|C_{k,n} jest funkcją ciągłą w punkcie x. Na mocy lematu 3.2.2, f jest funkcją E-ciągłą.

Twierdzenie 3.7.9 Istnieje E-ciągła funkcja f_{0} : IR → IR, drugiej klasy Baire’a taka, że każdą funkcję f : IR → IR można przedstawić jako złożenie funkcji f_{0} z pewną mierzalną, E-ciągłą funkcją f_{1} : IR → IR mającą własność Baire’a. Mówiąc prościej, każda funkcja f jest złożeniem dwóch funkcji E– ciągłych.

Dowód. Niech f_{0} będzie funkcją z lematu 3.7.1. Ponieważ f(IR) jest zbiorem nieprzeliczalnym, typu F_{σ}, pierwszej kategorii, miary zero, więc w każdym przedziale I_{k} znajdziemy ciąg zbiorów Cantora {K_{k,n}}_{n=1}^{∞} takich, że K_{k,n} ∩ f(IR) = ∅ oraz K_{k,n} ∩ K_{m,p} = ∅ dla (k, n) ≠ (m, p). Określmy

f_{1}(y) = \{ \begin{matrix}f(f_{0}^{−1}(y)) & dla y ∈ f_{0}(IR) \\ q_{n} & dla y ∈ K_{k,n}, n ∈ IN \\ 0 & w przeciwnym przypadku. \end{matrix}

Jeśli x jest punktem obustronnego skupienia zbioru K_{k,n}, to f_{1}|K_{k,n} jest funkcją ciągłą w punkcie x. Zatem wykres funkcji f_{1} obciętej do sumy wszystkich punktów obustronnego skupienia zbiorów K_{k,n}, k, n ∈ IN jest obustronnie gęsty w wykresie funkcji f_{1}, a stąd f_{1} jest funkcją E–ciągłą. Ustalmy x ∈ IR. Wtedy

f_{1} ∘ f_{0}(x) = f(f_{0}^{−1}(f_{0}(x))) = f(x).

Pokażemy, że f_{1} jest funkcją mierzalną z własnością Baire’a. Niech G będzie dowolnym zbiorem otwartym. Jeżeli 0 ∉ G, to f_{1}^{−1}(G) jest zbiorem pierwszej kategorii, miary zero. W przeciwnym przypadku f_{1}^{−1}(G) jest sumą zbioru pierwszej kategorii, miary zero i zbioru rezydualnego, miary pełnej.

Lemat 3.7.2 Załóżmy, że funkcja f : IR → IR spełnia następujący warunek:

(i) dla każdego przedziału J ⊂ IR oraz dla każdego zbioru pierwszej kategorii F ⊂ IR istnieją dwa zbiory Cantora C_{1}, C_{2} ⊂ J \ F takie, że f(C_{1}) oraz f^{−1}(C_{2}) są zbiorami pierwszej kategorii.

Istnieją wtedy dwie rodziny zbiorów {A_{y}; y ∈ IR} i {B_{y}; y ∈ IR} spełniające warunki:

(1) dla każdego y ∈ IR istnieją rodziny zbiorów Cantora (C_{n,y})_{n∈IN}, (K_{n,y})_{n∈IN} takie, że ⋃_{n=1}^{∞} C_{n,y} ⊂ A_{y}, ⋃_{n=1}^{∞} K_{n,y} ⊂ B_{y}, C_{n,y} ∩ C_{m,y} = ∅ = K_{n,y} ∩ K_{m,y} dla m ≠ n oraz C_{n,y}, K_{n,y} ⊂ I_{n},

(2) jeżeli y ≠ y_{1}, to A_{y} ∩ A_{y_{1}} = ∅ = B_{y} ∩ B_{y_{1}},

(3) ⋃_{y∈IR} A_{y}, ⋃_{y∈IR} B_{y} są zbiorami pierwszej kategorii,

(4) f(⋃_{y∈IR} A_{y}) ∩ ⋃_{y∈IR} B_{y} = ∅.

Dowód. Niech {C_{n}}_{n=1}^{∞} i {K_{n}}_{n=1}^{∞} będą takimi zbiorami Cantora, że f(C_{n}), f^{−1}(K_{n}) są zbiorami pierwszej kategorii oraz

K_{1} ⊂ I_{1},
C_{1} ⊂ I_{1} \ f^{−1}(K_{1}),
⋮  ⋮
K_{n} ⊂ I_{n} \ [⋃_{k=1}^{n−1} K_{k} ∪ f(⋃_{k=1}^{n−1} C_{k})],
C_{n} ⊂ I_{n} \ [⋃_{k=1}^{n−1} C_{k} ∪ f^{−1}(⋃_{k=1}^{n} K_{k})],
⋮  ⋮

Ponieważ każdy zbiór Cantora jest homeomorficzny z iloczynem kartezjańskim dwóch zbiorów Cantora (patrz [9]) więc każdy ze zbiorów C_{n} i K_{n} można przedstawić jako odpowiednią sumę

C_{n} = ⋃_{α<ω_{c}} C_{n,α} , K_{n} = ⋃_{α<ω_{c}} K_{n,α}

parami rozłącznych zbiorów Cantora (C_{n,α}, K_{n,α})_{α<ω_{c}}. Niech (y_{α})_{α<ω_{c}} będzie pozaskończonym ciągiem wszystkich liczb rzeczywistych oraz

A_{y} = ⋃_{n=1}^{∞} C_{n,α}, B_{y} = ⋃_{n=1}^{∞} K_{n,α}

dla y = y_{α} oraz y ∈ IR. Wtedy rodziny zbiorów {A_{y}; y ∈ IR}, {B_{y}; y ∈ IR} spełniają warunki (1)–(4).

Twierdzenie 3.7.10 Jeżeli funkcja f : IR → IR spełnia warunek (i) oraz g : IR → IR jest surjekcją, to istnieją E–ciągłe funkcje h_{1}, h_{2} : IR → IR takie, że h_{1} ∘ f = g ∘ h_{2}.

Dowód. Niech f spełnia warunek (i), g będzie surjekcją oraz {A_{y}; y ∈ IR}, {B_{y}; y ∈ IR} będą rodzinami zbiorów z lematu 3.7.2. Będziemy konstuować funkcje h_{2} : IR → IR i h_{1} : IR → IR. Niech h_{2}|A_{y} ≡ h_{1}|B_{y} ≡ y dla y ∈ IR. Jeśli x ∈ f^{−1}(B_{y}), to niech h_{2}(x) = z, gdzie z jest dowolnym punktem ze zbioru g^{−1}({y}). Dla każdego x ∈ f(A_{y}) zdefiniujmy h_{1}(x) = g(y). Musimy określić jeszcze wartości funkcji h_{2}, h_{1} odpowiednio poza zbiorami S_{2} = ⋃_{y∈IR}(A_{y} ∪ f^{−1}(B_{y})) i S_{1} = ⋃_{y∈IR}(B_{y} ∪ f(A_{y})). Dla x ∈ IR \ S_{1} niech h_{1}(x) = 0. Ustalmy dowolny x ∈ IR \ S_{2}. Jeśli f(x) ∈ IR \ S_{1}, to określmy h_{2}(x) = t, gdzie t jest dowolnym punktem, dla którego g(t) = 0. Załóżmy, że f(x) ∈ S_{1}. Jeśli f(x) ∈ B_{y} dla pewnego y ∈ IR, to przyjmijmy h_{2}(x) = z, gdzie z jest dowolnie wybranym punktem ze zbioru g^{−1}({y}). Jeśli f(x) ∈ f(A_{y}) dla pewnego y ∈ IR, to h_{2}(x) = y. Pokażmy, że h_{1} ∘ f = g ∘ h_{2}.

a) Jeśli x ∈ A_{y} dla pewnego y ∈ IR, to h_{2}(x) = y, f(x) ∈ f(A_{y}) i stąd h_{1} ∘ f(x) = g(y) = g ∘ h_{2}(x).

b) Jeżeli x ∈ f^{−1}(B_{y}) dla pewnego y ∈ IR, to h_{2}(y) ∈ g^{−1}({y}) i wtedy g(h_{2}(x)) = y. Zauważmy, że f(x) ∈ B_{y} oraz h_{1}(f(x)) = y.

c) Dla x ∈ IR \ S_{2} i f(x) ∈ IR \ S_{1} mamy g(h_{2}(x)) = 0 = h_{1}(f(x)).

d) Gdy x ∈ IR \ S_{2} oraz f(x) ∈ S_{1}, to g(h_{2}(x)) = y = h_{1}(f(x)), jeśli f(x) ∈ B_{y} lub g(h_{2}(x)) = g(y) = h_{1}(f(x)) gdy f(x) ∈ f(A_{y}). Na mocy lematu 3.7.2, istnieje ciąg parami rozłącznych zbiorów Cantora {C_{n,y}; n ∈ IN, y ∈ IR} taki, że C_{n,y} ⊂ I_{n} oraz C_{n,y} ⊂ A_{y}. Niech P_{2} będzie zbiorem wszystkich tych punktów z ∈ ⋃_{y∈IR} A_{y}, które są punktami obustronnego skupienia zbiorów C_{n,y}, n ∈ IN, y ∈ IR. Wtedy h_{2}|P_{2} jest obustonnie gęsty w wykresie funkcji h_{2}. Ponieważ każdy z ∈ P_{2} jest punktem, w którym funkcja h_{2} jest E–ciągła, więc h_{2} jest funkcją E–ciągłą w każdym punkcie swojej dziedziny. W ten sam sposób dowodzi się E–ciągłość funkcji h_{1}.

Uwaga 3.7.4 Założenie o c–typie systemu ścieżek E we wszystkich twierdzeniach tego podrozdziału jest istotne i opuścić go nie można. Dla przykładu rozpatrzyć można system ścieżek zawierający wszystkie przedziały otwarte.

Własność EIV P

W twierdzeniu 3.6.2 pokazaliśmy, że EIV P ⊂ M_{in}(C_{E}). Okazało się również, że powyższego zawierania odwrócić nie można (uwaga 3.6.1). Spróbujmy bliżej przyjrzeć się rodzinie funkcji EIV P.

4.1 Podstawowe lematy, twierdzenia i przykłady

Twierdzenie 4.1.1 Jeśli E jest δ-systemem ścieżek, to EIV P = (σE)IV P.

Dowód. Załóżmy, że f ∈ EIV P. Wybierzmy dowolne punkty x, y ∈ IR, dla których f(x) ≠ f(y). Niech K ∈ ⋃ σE będzie ścieżką zawartą między f(x) i f(y). Oznaczmy przez K_{0} ∈ ⋃ E dowolną ścieżkę zawartą w K. Istnieje wtedy ścieżka C_{0} ∈ ⋃ E, dla której f(C_{0}) ⊂ K_{0} ⊂ K. Stąd f ∈ (σE)IV P. Przyjmijmy teraz, że g ∈ (σE)IV P. Niech x, y ∈ IR oraz f(x) ≠ f(y). Dla dowolnie wybranej ścieżki K ∈ ⋃ E, K ⊂ (f(x), f(y)) znajdziemy ścieżkę C_{0} ∈ ⋃ E o tej własności, że f(C_{0}) ⊂ K. Niech C ∈ ⋃ σE oraz f(C) ⊂ K. Dowolna ścieżka C ∈ ⋃ σE zawiera ścieżkę C_{0} ∈ ⋃ E, a stąd f(C_{0}) ⊂ f(C) ⊂ K, co kończy dowód twierdzenia.

Lemat 4.1.1 Jeśli E jest σ-systemem ścieżek, to EIV P ⊂ C_{E} oraz przeciwne zawieranie nie jest prawdziwe.

Dowód. Niech f ∈ EIV P oraz niech x będzie ustalonym punktem prostej rzeczywistej. Będziemy konstruować prawostronną ścieżkę E_{x} w punkcie x, po obcięciu do której funkcja f będzie ciągła w x. Zauważmy, że jeśli dla pewnej dodatniej liczby δ oraz dla wszystkich y ∈ [x, x + δ], zachodzi f(y) = f(x), to dla dowolnej prawostronnej ścieżki R_{x} w punkcie x, f|R_{x} jest funkcją ciągłą w x. Załóżmy, że funkcja f nie jest stała w żadnym otoczeniu prawostronnym punktu x. Niech a_{n} ↘ x będzie takim ciągiem, że f(a_{n}) ≠ f(x), a (P_{n})_{n=1}^{∞} dowolną rodziną ścieżek zawartych w (f(x), f(a_{n}))∩(f(x)−1/n, f(x)+1/n), n ∈ IN. Ponieważ f ∈ EIV P, więc istnieje taka rodzina ścieżek (E_{n})_{n=1}^{∞}, że E_{n} ⊂ (x, a_{n}) oraz f(E_{n}) ⊂ P_{n} ⊂ (f(x)−1/n, f(x)+1/n) dla n ∈ IN. Wynika stąd, że istnieje taki ciąg liczb rzeczywistych (x_{m})_{m=1}^{∞}, że x_{m} ↘ x, oraz f(x_{m}) jest zbieżny monotonicznie do f(x). Załóżmy, że f(x_{m+1}) < f(x_{m}) dla m ∈ IN. Wtedy istnieje rodzina ścieżek (F_{m})_{m=1}^{∞} leżąca między punktami x_{m+1} oraz x_{m} taka, że f(F_{m}) ⊂ (f(x_{m+1}), f(x_{m})) dla wszystkich m ∈ IN. Ponieważ E jest σ-systemem ścieżek, to ⋃_{m=1}^{∞} F_{m}∪{x} zawiera prawostronną ścieżkę F_{x} w punkcie x oraz f|F_{x} jest funkcją ciągłą w x. W analogiczny sposób można pokazać, że funkcja f posiada lewostronną ścieżkę w punkcie x. Na mocy lematu 3.1.1 istnieje E-ciągła funkcja f taka, że f(IR) = {0, 1}. Funkcja spełniająca powyższy warunek nie może posiadać własności EIV P, a więc C_{E} ⊄ EIV P.

Uwaga 4.1.1 Zauważmy, że jeśli E jest rodziną przedziałów otwartych, to pierwsza część lematu 4.1.1 nie jest spełniona. W powyższym lemacie nie można zatem opuścić założenia o σ–typie systemu ścieżek E.

Przykład 4.1.1 Istnieje σ-system ścieżek E, dla którego C ⊄ EIV P oraz EIV P ⊄ C.

Oznaczmy przez W zbiór wszystkich liczb algebraicznych oraz określmy dla x ∈ Q, F_{x}^{ε} = Q ∩ (x − ε, x + ε), F(x) = {F_{x}^{ε}; ε > 0}. Dla x ∈ IR \ Q zdefiniujmy F(x) = {A ⊂ IR \ W; x jest obustronnym punktem skupienia zbioru A}. Niech F = {F(x); x ∈ IR} oraz E = σF. Zdefiniujmy funkcję ciągłą f w następujący sposób f(x) = \sqrt{|x|}. Wykażemy, że f nie posiada własności EIV P. Niech x = 0, y = 1 oraz K = (0, 1) ∩ Q. Wtedy K ∈ ⋃ E oraz K ⊂ (f(x), f(y)). Niech C ⊂ (x, y) będzie dowolną ścieżką z rodziny E. Ponieważ EIV P = FIV P, więc możemy założyć, że C ∈ ⋃ F. Jeżeli C jest ścieżką w punkcie niewymiernym, to f(C) ⊂ IR \ Q, a stąd f(C) ⊄ K. Gdy C jest ścieżką w punkcie wymiernym, to należy do niej taki punkt wymierny y, że \sqrt{y} ∉ Q. Wtedy również f(C) ⊄ K, a więc C ⊄ EIV P.

Określmy funkcję nieciągłą w punkcie x = 0 w sposób następujący:

g(x) = \{ \begin{matrix}4n(2n − 1)x − 4n + 1 & dla x ∈ [\frac{1}{2n}, \frac{1}{2n−1}], n ∈ IN \\ −4n(2n + 1)x + 4n + 1 & dla x ∈ (\frac{1}{2n+1}, \frac{1}{2n}), n ∈ IN \\ 0 & w przeciwnym przypadku. \end{matrix}

Jeżeli K ∈ ⋃ E jest ścieżką zawartą w przedziale (g(x), g(y)), to istnieją takie punkty a, b ∈ (x, y), że f|(a, b) jest funkcją liniową, f(a) = f(x) oraz f(b) = f(y). Wtedy f^{−1}(K) ∩ (a, b) ∈ ⋃ E, co pokazuje, że g ∈ EIV P \ C.

Twierdzenie 4.1.2 Nie istnieje taki system ścieżek E, dla którego prawdziwa byłaby równość EIV P = C.

Dowód. Załóżmy, że C ⊂ EIV P dla pewnego systemu ścieżek E. Niech f(x) = sin 1/x jeśli x ≠ 0 oraz f(x) = 0 dla x = 0. Ustalmy takie x, y ∈ IR, że x < y oraz f(x) ≠ f(y). Niech K ∈ ⋃ E będzie dowolną ścieżką leżącą między f(x) i f(y). Bez straty na ogólności możemy założyć, że y > 0. Istnieje wtedy taki punkt x_{1}, że 0 < x_{1} < y, x ≤ x_{1} oraz f(x_{1}) = f(x). Ponieważ f|[x_{1}, y] jest funkcją ciągłą oraz K ⊂ (f(x_{1}), f(x)), to istnieje ścieżka C ⊂ (x_{1}, y), dla której f(C) ⊂ K. Wtedy f ∈ EIV P \ C.

Twierdzenie 4.1.3 Jeżeli E jest δ-systemem ścieżek oraz f : IR → IR jest funkcją o domkniętym wykresie, mającą własnośc EIV P, to f jest funkcją ciągłą.

Dowód. Jeśli E jest δ-systemem ścieżek, to na mocy twierdzenia 4.1.1 otrzymujemy EIV P = (σE)IV P. Na podstawie lematu 4.1.1 dowolna funkcja f ∈ (σE)IV P jest funkcją σE-ciągłą. Korzystając z twierdzenia 3.2.1, f jest funkcją ciągłą.

Uwaga 4.1.2 Niech E(x) = {IR} dla dowolnego x ∈ IR oraz E = {E(x); x ∈ IR}. Wtedy dowolna funkcja f : IR → IR ma własność EIV P. Pokazuje to, iż twierdzenie 4.1.3 nie zachodzi w przypadku, gdy E nie jest δ-systemem ścieżek.

Twierdzenie 4.1.4 Jeśli E jest dowolnym systemem ścieżek oraz f, g ∈ EIV P, to

g ∘ f ∈ EIV P.

Dowód. Przyjmijmy, że x, y ∈ IR, x < y oraz g(f(x)) ≠ g(f(y)). Niech K będzie dowolną ścieżką z rodziny E, leżącą pomiędzy punktami g(f(x)) i g(f(y)). Wtedy f(x) ≠ f(y) oraz istnieje taka ścieżka P ⊂ (f(x), f(y)), że g(P) ⊂ K. Z drugiej strony, ponieważ f ∈ EIV P, więc f(C) ⊂ P dla pewnej ścieżki C ⊂ (x, y). Ostatecznie otrzymujemy, że g(f(C)) ⊂ K.

Wniosek 4.1.1 Dla dowolnego systemu ścieżek E prawdziwe są równości:

M_{in}(EIV P) = M_{out}(EIV P) = EIV P,

w szczególności

M_{in}(CIV P) = M_{out}(CIV P) = CIV P.

Lemat 4.1.2 Niech E będzie δ-systemem ścieżek, f ∈ EIV P oraz x_{0} ∈ IR. Wtedy zbiory K^{+}(f, x_{0}) i K^{−}(f, x_{0}) są spójne.

Dowód. Pokażemy, że K^{+}(f, x_{0}) jest zbiorem spójnym. Oznaczmy przez m = inf K^{+}(f, x_{0}) oraz M = sup K^{+}(f, x_{0}). Jeśli funkcja f jest ciągła z prawej strony w punkcie x_{0}, to m = M. Załóżmy, że funkcja f nie jest prawostronnie ciągła w punkcie x_{0}. Przypuśćmy ponadto, że (a, b)∩K^{+}(f, x_{0}) = ∅ oraz m, M, f(x_{0}) ∉ [a, b] dla pewnych a, b ⊂ (m, M). Istnieje wtedy taki punkt x_{1} > x_{0}, że

[a, b] ⊂ (f(x_{0}), f(x_{1})) oraz f(x) ∉ (a, b) dla x ∈ [x_{0}, x_{1}].

Jeśli K ∈ ⋃ E jest dowolną ścieżką zawartą w przedziale (a, b), to leży ona między punktami f(x_{0}) i f(x_{1}) oraz f(C) ⊄ K dla każdej ścieżki C ⊂ (x_{0}, x_{1}). Doszliśmy w ten sposób do sprzeczności, gdyż funkcja f posiada na mocy założenia własność EIV P. Udowodniliśmy zatem, że zbiór K^{+}(f, x_{0}) jest gęsty w przedziale [m, M]. Ponieważ K^{+}(f, x_{0}) jest zbiorem domkniętym, więc K^{+}(f, x_{0}) = [m, M].

Lemat 4.1.3 Niech E będzie δ-systemem ścieżek, f ∈ EIV P, x_{0} ∈ IR, z ∈ K(f, x_{0}) \ {±∞} oraz

g(x) = \{ \begin{matrix}f(x) & dla x ≠ x_{0} \\ z & dla x = x_{0} \end{matrix} .

Wtedy g ∈ EIV P.

Dowód. Jeżeli z = f(x_{0}), to g = f ∈ EIV P. Załóżmy, że f(x_{0}) ≠ z, x, y ∈ IR, x < y oraz g(x) ≠ g(y). Dla prostoty dowodu przyjmijmy, że g(x) < g(y). Wybierzmy dowolną ścieżkę K_{s} ⊂ (g(x), g(y)) w pewnym punkcie s ∈ (g(x), g(y)). Rozpatrzmy trzy przypadki:

1) x = x_{0} (jeśli y = x_{0}, to dowód przebiega analogicznie.) Oznaczmy przez c = min{|s − g(x)|, |s − g(y)|}. Niech K_{1} będzie taką ścieżką w punkcie s, że K_{1} ⊂ K_{s} ∩(s− \frac{c}{2}, s+ \frac{c}{2}). Pokażemy, że istnieje taki punkt x_{1} z przedziału (x_{0}, y), dla którego (s−c/2, s+c/2) ⊂ (g(x_{1}), g(y)). W tym celu skorzystajmy z faktu, że (z, f(x_{0})) ⊂ K(f, x_{0}) oraz rozważmy dwa przypadki:

a) jeśli f(x_{0}) < z, to znajdziemy taki punkt x_{1} ∈ (x_{0}, y), że f(x_{1}) ∈ (f(x_{0}), z) ,

b) jeżeli f(x_{0}) > z, to znajdziemy taki punkt x_{1} ∈ (x_{0}, y), że f(x_{1}) ∈ (z, s − \frac{c}{2}).

Ponieważ f|[x_{1}, y] ∈ EIV P, więc dla pewnej ścieżki C ⊂ (x_{1}, y) ⊂ (x, y) mamy g(C) ⊂ K_{1} ⊂ K_{s}.

2) Załóżmy, że x_{0} ∉ [x, y]. Wtedy g|[x, y] = f|[x, y] ∈ EIV P, a stąd istnieje ścieżka C ⊂ (x, y), taka, że g(C) = f(C) ⊂ K_{s}.

3) Załóżmy, że x_{0} ∈ (x, y). Ponieważ f ∈ EIV P, więc istnieje ścieżka C_{r} w pewnym punkcie r ∈ (x, y) taka, że f(C_{r}) ⊂ K_{s}. Rozpatrzmy dwa kolejne przypadki: a) Przypuśćmy, że x_{0} ≠ r. Ponieważ E jest δ–systemem ścieżek więc istnieje ścieżka E(r) ∋ C ⊂ C_{r} nie zawierająca punktu x_{0}. Wtedy g(C) = f(C) ⊂ K_{s}.

b) Załóżmy, że r = x_{0}. Zauważmy, że jeśli z = s, to

g(C_{r}) = g(C_{r} \ {r}) ∪ g({r}) = f(C_{r} \ {r}) ∪ {z} ⊂ K_{s}.

W przeciwnym przypadku istnieje taki przedział otwarty I ⊂ (g(x), g(y)), że s ∈ I oraz z ∉ I. Niech K_{1} ∈ E(s) będzie ścieżką zawartą w zbiorze K_{s} ∩ I. Wtedy istnieje taka ścieżka C ⊂ (x, y), że f(C) ⊂ K_{1}. Ponieważ z ∉ K_{1}, więc x_{0} ∉ C, a stąd g(C) = f(C) ⊂ K_{1} ⊂ K_{s}.

Lemat 4.1.4 Niech f : (−∞, a) → IR, g : (a, −∞) → IR, f, g ∈ EIV P oraz c ∈ [K^{−}(f, a) ∩ K^{+}(g, a)] \ {±∞}. Jeśli E jest Δ-systemem ścieżek, to funkcja

h(x) = \{ \begin{matrix}f(x) & jeśli x < a \\ c & jeśli x = a \\ g(x) & jeśli x > a \end{matrix}

ma własność EIV P.

Dowód. Niech x, y ∈ IR, h(x) < h(y) oraz ⋃ E ∋ K ⊂ (h(x), h(y)). Załóżmy, że x < y. Wystarczy pokazać, że istnieje ścieżka C ∈ ⋃ E ograniczona punktami x i y taka, że h(C) ⊂ K. Jeśli x, y ∈ (−∞, a) lub x, y ∈ (a, ∞), to taka ścieżka istnieje, gdyż f, g ∈ EIV P. Jeżeli x = a lub y = a, to na mocy twierdzenia 4.1.3, istnieje ścieżka C ∈ ⋃ E o tej własności, że C ⊂ (x, y) oraz h(C) ⊂ K. Przypuśćmy, że x < a < y. Będziemy rozparywać dwa przypadki.

(1) c ∉ [h(x), h(y)]. Bez straty na ogólności załóżmy, że c < h(x). Wtedy dla pewnego punktu s ∈ (a, y) mamy h(s) < h(x). Ponieważ g ∈ EIV P oraz K ⊂ (g(s), g(y)), więc istnieje ścieżka C ⊂ (s, y) ⊂ (x, y), dla której h(C) = g(C) ⊂ K.

(2) c ∈ [h(x), h(y)]. Korzystając z faktu, że E jest Δ-systemem ścieżek, (h(x), c) ∩ K lub (c, h(y)) ∩ K zawiera ścieżkę K_{1} ∈ E. Załóżmy, że K_{1} ⊂ (c, h(y)) ∩ K (w przeciwnym przypadku dowód pozostaje bez zmian). Wtedy h(y) = g(y). Niech s będzie takim punktem, że (g(s), g(y)) ∩ K_{1} zawiera pewną ścieżkę K_{2} oraz a < s < y, g(x) < g(s) < g(y). Ponieważ g ∈ EIV P, to istnieje ścieżka C ⊂ (s, y) ⊂ (x, y) o tej własności, że g(C) = h(C) ⊂ K_{2} ⊂ K.

Uwaga 4.1.3 Istnieje taki σ-system ścieżek E oraz funkcje f : (−∞, 0) → IR, g : (0, ∞) → IR, f, g ∈ EIV P, że 0 ∈ K^{−}(f, 0) ∩ K^{+}(g, 0) oraz funkcja h : IR → IR zdefiniowana w sposób następujący

h(x) = \{ \begin{matrix}f(x) & dla x < 0 \\ 0 & dla x = 0 \\ g(x) & dla x > 0 \end{matrix}

nie posiada własności EIV P.

Dowód. Niech dla każdej liczby rzeczywistej x, E(x) będzie rodziną zbiorów, dla których x jest punktem obustronnego skupienia oraz E = {E(x); x ∈ IR}. Wtedy E_{0} = {(−1)^{n}/n, n ∈ IN} ∪ {0} ∈ E(0) oraz E_{0} \ {0} nie zawiera żadnej ścieżki, tzn. E nie jest Δ-systemem ścieżek. Niech {I_{n}}_{n=1}^{∞} będzie ciągiem wszystkich przedziałów otwartych o końcach wymiernych takich, że I_{n} ⊂ (−∞, 0) dla n ∈ IN. Oznaczmy przez {C_{n,α}}_{n∈IN,α<ω_{c}} rodzinę parami rozłącznych zbiorów Cantora takich, że C_{n,α} ⊂ I_{n} dla n ∈ IN, α < ω_{c} (patrz [9]). Ustawmy w ciąg pozaskończony {x_{α}}_{α<ω_{c}} wszystkie liczby ze zbioru (−∞, 0) \ E_{0}. Połóżmy

f(x) = \{ \begin{matrix}x_{α} & dla x ∈ ⋃_{n=1}^{∞} C_{n,α} & α < ω_{c} \\ −1 & w przeciwnym przypadku \end{matrix} ,

g(x) = \{ \begin{matrix}−x_{α} & dla x ∈ − ⋃_{n=1}^{∞} C_{n,α} & α < ω_{c} \\ 1 & w przeciwnym przypadku \end{matrix} .

Zauważmy, że f < 0 oraz g > 0. Funkcja f ma własność EIV P, ponieważ w każdym przedziale znajdziemy ścieżkę (zbiór Cantora), na którym przyjmuje ona dowolną wartość ujemną. Analogicznie g ∈ EIV P. Ustalmy takie x, y, że x < 0 < y, h(x) < −1 oraz 1 < h(y). Wtedy h(C) ⊄ E_{0} dla żadnego C ∈ ⋃ E, a stąd h ∉ EIV P.

Uwaga 4.1.4 Jeśli E jest dowolnym σ systemem ścieżek, to

EIV P ⊄ Econst oraz Econst ⊄ EIV P.

Dowód. Funkcja f(x) = x ma własność EIV P oraz f ∉ Econst. Na mocy lematu 3.1.1 istnieje E-ciągła funkcja g taka, że g(IR) = {−1, 1}. Zauważmy, że g ∈ Econst, a to oznacza, że g ∉ EIV P.

4.2 Własność CIV P

Jako szczególny przykład rodziny funkcji posiadających własność E przyjmowania wartości pośrednich, można wymienić zdefiniowaną w 1982 roku przez R. G. Gibsona i F. Rousha klasę CIV P [6]. Za rodzinę ścieżek E(x) w punkcie x, wyznaczającą tę klasę funkcji można przyjąć rodzinę tych wszystkich zbiorów Cantora, których jednym z punktów obustronnego skupienia jest x. Na podstawie twierdzenia 4.1.1 możemy stwierdzić, że za rodzinę ścieżek E(x) w punkcie x można przyjąć również wszystkie zbiory doskonałe, dla których x jest obustronnym punktem skupienia. Inaczej niż w przypadku funkcji E–ciągłych, istota systemu ścieżek E w znacznym stopniu implikuje własności funkcji z klasy EIV P. Ponadto trudno jest znaleźć jakieś wspólne cechy dla różnych systemów ścieżek, pozwalające ujednolicić rozpatrywane klasy funkcji EIV P. Z uwagi na znane z literatury prace dotyczące klas funkcji z własnością (CIV P), szczególnie interesujące jest szczegółowe zbadanie własności tej klasy.

Twierdzenie 4.2.1 DB_{1} = CIV P ∩ B_{1}.

Dowód. Korzystając z faktu, że DB_{1} = D ∩ PR [10] oraz CIV P ⊂ PR (lemat 4.1.1), otrzymujemy zawieranie CIV P ∩ B_{1} ⊂ DB_{1}. Załóżmy, że f : IR → IR jest funkcją pierwszej klasy Baire’a z własnością Darboux. Niech x, y ∈ IR będą takimi dowolnie wybranymi punktami, że f(x) < f(y). Wybierzmy zbiór Cantora K ⊂ (f(x), f(y)). Wtedy, ponieważ f^{−1}(K) ∩ (x, y) jest zbiorem mocy continuum, typu G_{δ}, więc zawiera on pewien zbiór Cantora C. Stąd f(C) ⊂ K, co należało dowieść.

Wniosek 4.2.1 C ⊂ CIV P.

Twierdzenie 4.2.2 CIV P ⊂ U.

Dowód. Ustalmy f ∈ CIV P, J = [α, β] ⊂ IR oraz otwarty zbiór U ⊂ [inf_{J}f, sup_{J}f] = [m, M]. Niech A będzie dowolnym zbiorem mocy mniejszej niż continuum. Wybierzmy dowolny przedział (a, b), którego domknięcie jest zawarte w zbiorze U. Istnieją wtedy takie liczby α_{1}, β_{1} ∈ J, że

m ≤ f(α_{1}) ≤ a < b ≤ f(β_{1}) ≤ M.

Niech K ⊂ (a, b) będzie dowolnym zbiorem Cantora. Korzystając z własności CIV P funkcji f otrzymujemy, że f(C) ⊂ K ⊂ (a, b) dla pewnego zbioru Cantora C ⊂ (α_{1}, β_{1}). Ponieważ C \ A ≠ ∅, więc ∅ ≠ f(C \ A) ⊂ (a, b) ⊂ U, co kończy dowód.

Uwaga 4.2.1 W klasie funkcji borelowsko mierzalnych rodzina U jest właściwym podzbiorem klasy funkcji z własnością W CIV P.

Dowód. Załóżmy, że f ∈ U ∩ B oraz f(a) < f(b). Bez straty na ogólności przyjmijmy, że a < b. Wtedy B = f^{−1}(f(a), f(b)) ∩ (a, b) jest zbiorem borelowskim, mocy continuum, a więc zawiera pewien zbiór Cantor C. Stąd f(C) ⊂ (f(a), f(b)). Aby wykazać, że U ≠ W CIV P rozważmy funkcję

f(x) = \{ \begin{matrix}x & dla x > 0 \\ −1 & dla x ≤ 0 \end{matrix} .

Uwaga 4.2.2 W CIV P ⊄ U_{0} oraz U_{0} ⊄ W CIV P.

Dowód. Określmy funkcję f w następujący sposób:

f(x) = \{ \begin{matrix}x & dla x > 0 \\ −1 & dla x ≤ 0 \end{matrix} .

Wtedy f ∈ W CIV P \ U_{0}. Przedstawmy prostą rzeczywistą w postaci przeliczalnej sumy ⋃_{n=1}^{∞} B_{n}, parami rozłącznych zbiorów Bernsteina . Niech (x_{n})_{n=1}^{∞} będzie ciągiem wszystkich liczb wymiernych oraz f(x) = x_{n} dla x ∈ B_{n}, n ∈ IN. Wtedy f ∈ U_{0} \ W CIV P.

Uwaga 4.2.3 U ∩ B \ CIV P ∩ B ≠ ∅.

Dowód. Niech {I_{n}}_{n=1}^{∞} będzie rodziną wszystkich przedziałów otwartych o końcach wymiernych oraz {C_{n,m}}_{n,m=1}^{∞} ciągiem parami rozłącznych zbiorów Cantora takich, że C_{n,m} ⊂ I_{n}. Oznaczmy przez {q_{m}}_{m=1}^{∞} ciąg wszystkich liczb wymiernych oraz

f(x) = \{ \begin{matrix}q_{m} & dla x ∈ ⋃_{n=1}^{∞} C_{n,m}, m ∈ IN \\ 0 & w przeciwnym przypadku \end{matrix} .

Wtedy f jest drugiej klasy Baire’a, \overline{f(J \ A)} = IR dla dowolnego przedziału J i dla każdego zbioru A mocy mniejszej niż continuum, a stąd f ∈ U. Ponadto, dla każdych dwóch takich punktów a, b, że f(a) < f(b), dla dowolnego zbioru Cantora K ⊂ (f(a), f(b))\Q i dla każdego zbioru Cantora C ⊂ (a, b), mamy f(C) ∩ K = ∅, co oznacza, że f ∉ CIV P.

Twierdzenie 4.2.3 U ∩ W CIV P = U_{0} ∩ W CIV P.

Dowód. Wystarczy wykazać jedynie, że jeśli f ∈ U_{0} ∩ W CIV P, to f ∈ U. Załóżmy, że a < b, f(a) < f(b). Niech J = [a, b] będzie dowolnym przedziałem, U zaś dowolnym zbiorem otwartym zawartym w przedziale (f(a), f(b)). Ustalmy zbiór A, którego moc jest mniejsza niż continuum. Pokażemy, że f(J\A) jest zbiorem gęstym w przedziale (f(a), f(b)). Ponieważ f(J) jest zbiorem gęstym w U, więc istnieją takie punkty x_{1}, x_{2} ∈ J i y_{1}, y_{2} ∈ U, że y_{1} ≠ y_{2}, f(x_{1}) = y_{1} oraz f(x_{2}) = y_{2}. Możemy zatem znaleźć taki zbiór Cantora C ⊂ (x_{1}, x_{2}), że f(C) ⊂ (y_{1}, y_{2}). Ponieważ ∅ ≠ C \ A ⊂ J \ A więc f(x) ∈ U dla pewnego x ∈ J \ A.

Uwaga 4.2.4 CIV P jest właściwym podzbiorem U_{0} ∩ W CIV P.

Dowód. Zawieranie wynika bezpośrednio z definicji klas funkcji CIV P i W CIV P oraz z twierdzenia 4.2.2. Pokażemy jedynie, że jest ono właściwe. Niech {I_{n}}_{n=1}^{∞} będzie ciągiem wszystkich przedziałów otwartych o końcach wymiernych. Wybierzmy rodzinę parami rozłącznych zbiorów Cantora

{C_{n,α}, n ∈ IN, α < ω_{c}}, C_{n,α} ⊂ I_{n} dla α < ω_{c}.

Ustalmy dowolny zbiór Cantora K oraz przyjmijmy, że {r_{α}}_{α<ω_{c}} jest pozaskończonym ciągiem wszystkich liczb ze zbioru IR \ K. Niech

f(x) = \{ \begin{matrix}x_{α} & dla x ∈ ⋃_{n=1}^{∞} C_{n,α}, & α < ω_{c} \\ 0 & w przeciwnym przypadku \end{matrix} .

Wtedy f ∈ U_{0} ∩ W CIV P \ CIV P.

Wniosek 4.2.2 Przy założeniu, że E jest dowolnym σ-systemem ścieżek otrzymujemy następujący diagram:

[figure: Econst; EIV P; C_{E}; C; Q_{0}; R_{o}; K_{2}; C(m); PC; CIV P; PR; W CIV P; U; U_{0}]

4.3 Maksymalne rodziny

Definicja 15 Będziemy mówić, że funkcja f jest nigdzie stała na zbiorze J jeżeli dla każdego przedziału I, f|(I ∩ J) nie jest funkcją stałą.

Oznaczenie 7 Oznaczmy przez A_{f} zbiór wszystkich takich punktów x ∈ J, dla których istnieje otwarty przedział I ⊂ J, x ∈ I, po obcięciu do którego funkcja f jest stała. Ustawmy w ciąg (J_{n})_{n=1}^{∞} wszystkie składowe zbioru A_{f} i zdefiniujmy

A^{f} = ⋃_{n=1}^{∞} \overline{J_{n}}.

Uwaga 4.3.1 IR \ A^{f} jest zbiorem typu G_{δ}. Ponadto, jeśli f ∈ C \ Const, to IR \ A^{f} jest zbiorem c–gęstym w sobie oraz dla każdego otwartego przedziału I, I \ A^{f} jest przestrzenią Baire’a.

Dowód. Ponieważ zbiór A^{f} jest typu F_{σ}, to IR \ A^{f} jest zbiorem typu G_{δ}. Załóżmy, że f jest niestałą funkcją ciągłą. Pokażemy, że IR \ A^{f} jest c–gęsty w sobie. W tym celu ustalmy x ∈ IR \ A^{f} oraz ε > 0. Zauważmy, że f(A^{f}) jest zbiorem przeliczalnym, a f((x − ε, x + ε)) niezdegenerowanym przedziałem. Gdyby zatem (x − ε, x + ε) \ A^{f} był zbiorem przeliczalnym, to f((x − ε, x + ε)) \ f(A^{f}) ⊂ f((x − ε, x + ε) \ A^{f}) również byłby przeliczalny. Poniewaz I \ A^{f} jest zbiorem typu G_{δ}, więc jest przestrzenią Baire’a.

Lemat 4.3.1 Niech f : IR → IR, f ∈ C \ Const. Oznaczmy przez I dowolny przedział otwarty, dla którego I \ A^{f} ≠ ∅. Wtedy dla dowolnego zbioru Cantora K ⊂ IR \f(A^{f}), dla każdego zbioru P_{1}, pierwszej kategorii w I \A^{f} oraz dla dowolnie wybranej liczby rzeczywistej y istnieje zbiór Cantora C, pierwszej kategorii w I \[A^{f} ∪P_{1}] taki, że (y +f(C))∩K = ∅ ((yf(C))∩K = ∅).

Dowód. Niech g = f|(I \ A^{f}) oraz P będzie zbiorem typu F_{σ}, pierwszej kategorii w I \ A^{f}, zawierającym zbiór P_{1}. Wtedy g jest funkcją nigdzie stałą oraz (y + g)^{−1}(K) jest zbiorem domkniętym w I \ A^{f}. Pokażemy, że (y + g)^{−1}(K) jest nigdzie gęsty w I \ A^{f}. Niech B będzie dowolną kulą otwartą w I \ A^{f}. Pokażemy, że B zawiera kulę W rozłączną z (y + g)^{−1}(K). Ponieważ (y + g) jest funkcją nigdzie stałą, więc istnieją punkty a, b ∈ B (załóżmy, że a < b) takie, że (y + g)(a) < (y + g)(b). Ponadto, istnieje kula S zawarta w przedziale ((y+g)(a), (y+g)(b)) taka, że S∩K = ∅. Korzystając z faktu, że (y + f)(A^{f}) jest zbiorem przeliczalnym oraz funkcja f przyjmuje wszystkie wartości z przedziału S, otrzymujemy, że (y + g)^{−1}(S) ∩ (a, b) jest niepustym zbiorem otwartym w I \ A^{f}. Zawiera on zatem kulę W, a wtedy W ∩ (y + g)^{−1}(K) = ∅. Załóżmy, nie wprost, że L = (I \ A^{f}) \ [P ∪ (y + g)^{−1}(K)] jest zbiorem przeliczalnym. Wtedy L ∪ P ∪ (y + g)^{−1}(K) = I \ A^{f} jako suma zbiorów pierwszej kategorii w przestrzeni Baire’a byłby zbiorem pierwszej kategorii, a zatem zbiorem brzegowym w I \ A^{f}. Z tej sprzeczności otrzymujemy, że L jest zbiorem borelowskim mocy continuum. Znajdziemy zatem pewien zbiór Cantora C, pierwszej kategorii w I \ [A^{f} ∪ P], zawarty w L. Ponieważ C ⊂ I \ [A^{f} ∪ P] oraz C ∩ (y + g)^{−1}(K) = ∅, więc y + f(C) = y + g(C), a stąd [y + f(C)] ∩ K = ∅. W analogiczny sposób znajduje się taki zbiór Cantora C, że (yf(C))∩K = ∅.

Lemat 4.3.2 Załóżmy CH. Niech f ∈ C \ Const oraz niech K ∈ IR \ f(A^{f}) będzie dowolnym zbiorem Cantora. Ustawmy w ciąg pozaskończony {y_{α}}_{α<ω_{1}} wszystkie liczby rzeczywiste. Oznaczmy przez {I_{n}}_{n=1}^{∞} wszystke przedziały o końcach wymiernych, dla których I_{n} \ A^{f} ≠ ∅. Istnieje wtedy taka nieprzeliczalna rodzina parami rozłącznych zbiorów Cantora {C_{α,n}; α < ω_{1}, n ∈ IN}, że dla dowolnych α < ω_{1}, n ∈ IN, zbiór C_{α,n} ⊂ I_{n} \ A^{f} jest pierwszej kategorii w I_{n} \ A^{f} oraz (y_{α} + f)(x) ∉ K ((y_{α}f)(x) ∉ K) dla wszystkich x ∈ C_{α,n}.

Dowód. Przypuśćmy, że mamy już wybrane zbiory Cantora C_{β,m} dla β < α, n ∈ IN oraz dla β = α i m < n. Na mocy Hipotezy Continuum oraz lematu 4.3.1,

P = ⋃_{β<α} ⋃_{m∈IN} C_{β,m} ∪ ⋃_{m<n} C_{α,m}

jest zbiorem pierwszej kategorii w I_{n} \ A^{f}. Na mocy lematu 4.3.1, istnieje zbiór Cantora C_{α,n} ⊂ I_{n} \ (P ∪ A^{f}) taki, że (y_{α} + f)(C_{α,n}) ∩ K = ∅. Dla iloczynu dowód lematu przebiega analogicznie.

Twierdzenie 4.3.1 Załóżmy CH. Dla dowolnej niestałej funkcji f ∈ CIV P istnieje taka funkcja g ∈ CIV P, że f + g ∉ CIV P ∪ D. Jeżeli f ∈ D, to funkcja g może posiadać własność Darboux.

Dowód. Rozpatrzmy dwa przypadki:

(1) f ∈ CIV P \ C.

Niech x_{0} będzie prawostronnym punktem funkcji f (jeżeli funkcja f byłaby lewostronnie nieciągła w punkcie x_{0}, to dowód przebiegałby analogicznie). Korzystając z lematu 4.1.2 wybierzmy ze zbioru K^{+}(f, x_{0}) dowolną skończoną liczbę rzeczywistą c, różną od wartości funkcji f w punkcie x_{0}. Zdefiniujmy funkcję g w sposób następujący:

g(x) = \{ \begin{matrix}−c & dla x ≤ x_{0} \\ −f(x) & dla x > x_{0} \end{matrix} .

Z mocy lematu 4.1.3 otrzymujemy, że g ∈ CIV P. Ponadto (f + g)(x_{0}) = f(x_{0}) − c ≠ 0 oraz (f + g)(x) = 0 dla x > x_{0}, co implikuje f + g ∉ CIV P oraz f + g ∉ D. Ponadto, jeśli f posiada własność Darboux, to g ∈ D.

(2) f ∈ C \ Const. Oznaczmy przez K dowolny zbiór Cantora zawarty w (IR \ f(A_{f})) ∩ (0, 1), a przez (I_{n})_{n=1}^{∞} ciąg wszystkich przedziałów otwartych o końcach wymiernych spełniających warunek I_{n} \ A^{f} ≠ ∅. Niech (y_{α})_{α<ω_{1}} będzie ciągiem wszystkich liczb rzeczywistych. Lemat 4.3.2 pokazuje, że można znaleźć rodzinę parami rozłącznych zbiorów Cantora {C_{α,n}; n ∈ IN, α < ω_{1}}, dla której C_{α,n} ⊂ I_{n} oraz (y_{α} + f)(x) ∉ K dla x ∈ C_{α,n}, n ∈ IN. Niech x_{0} będzie dowolnym punktem obustronnego skupienia zbioru IR \ A^{f}, c = f(x_{0}) − 1 oraz określmy funkcję

g(x) = \{ \begin{matrix}y_{α} & jeżeli x ∈ C_{α,n} \\ −c & jeżeli x = x_{0} \\ −f(x) & w przeciwnym przypadku \end{matrix} .

Zacznijmy od sprawdzenia, że g ma własność CIV P. Załóżmy, że g(x) ≠ g(y) oraz niech C ⊂ (g(x), g(y)) będzie dowolnym zbiorem Cantora. Oznaczmy przez z dowolny punkt ze zbioru C. Zauważmy, iż x i y nie mogą należeć do tej samej składowej zbioru A^{f}. Zatem istnieje n ∈ IN takie, że I_{n} ⊂ (x, y). Wtedy I_{n} \ A^{f} ≠ ∅ oraz C_{α,n} ⊂ I_{n}, gdzie α jest taką liczbą porządkową, że z = y_{α}. Stąd g(C_{α,n}) = {z} ⊂ C. W analogiczny sposób można pokazać, że f ∈ D. Aby wykazać, że (f + g) ∉ CIV P ustalmy dowolny punkt x_{1} > x_{0} należący do zbioru IR \ ⋃_{α<ω_{1}} ⋃_{n∈IN} C_{α,n}. Wtedy (f + g)(x_{0}) = 1, (f + g)(x_{1}) = 0 oraz K ⊂ ((f + g)(x_{1}), (f + g)(x_{0})). Ponieważ jeśli x ∈ IR, to (f + g)(x) ∉ K, więc f(C) ⊄ K dla dowolnego zbioru Cantora C ⊂ (x_{0}, x_{1}).

Twierdzenie 4.3.2 Załóżmy CH. Dla dowolnej niestałej funkcji f ∈ CIV P istnieje taka funkcja g ∈ CIV P, że fg ∉ CIV P ∪D. Jeżeli f ∈ D, to funkcja g może posiadać własność przyjmowania wartości pośrednich.

Dowód. Rozpatrzmy dwa przypadki:

(1) f ∈ C \ Const.

Oznaczmy przez K dowolny zbiór Cantora zawarty w zbiorze (IR \ f(A_{f}))∩(0, 1) oraz przez (I_{n})_{n=1}^{∞} ciąg przedziałów otwartych o końcach wymiernych o tej własności, że I_{n}\A^{f} ≠ ∅. Ustawmy w ciąg pozaskończony (y_{α})_{α<ω_{1}} wszystkie liczby rzeczywiste. Na mocy lematu 4.3.2 istnieje rodzina parami rozłącznych zbiorów Cantora {C_{α,n}; n ∈ IN, α < ω_{1}} mająca następujące własności: C_{α,n} ⊂ I_{n} oraz (y_{α}f)(x) ∉ K dla x ∈ C_{α,n}, n ∈ IN, α < ω_{1}. Zdefiniujmy

g(x) = \{ \begin{matrix}y_{α} & gdy x ∈ C_{α,n} \\ 1/f(x) & gdy f(x) ≠ 0 i x ∉ ⋃_{α<ω_{1}} ⋃_{n=1}^{∞} C_{α,n} \\ 0 & gdy (f(x) = 0 i x ∉ ⋃_{α<ω_{1}} ⋃_{n=1}^{∞} C_{α,n}) lub x = x_{0} \end{matrix}

gdzie x_{0} jest dowolnym punktem obustronnego skupienia zbioru IR\A^{f}. Pokażemy, że g ∈ CIV P ∩ D. W tym celu załóżmy, że g(x) ≠ g(y), C ⊂ (g(x), g(y)) jest dowolnym zbiorem Cantora oraz z ∈ C. Ponieważ punkty x i y nie mogą należeć do tej samej składowej zbioru A^{f}, więc istnieje taka liczba naturalna n, że I_{n} ⊂ (x, y). Znajdziemy wtedy taki zbiór Cantora C_{α,n} ⊂ I_{n}, że g(C_{α,n}) = {z} ⊂ C. Na koniec sprawdźmy, że (fg) ∉ CIV P. Niech x_{1} ∈ IR \ ⋃_{α<ω_{1}} ⋃_{n∈IN} C_{α,n} \ f^{−1}({0}), x_{0} < x_{1}. Zauważmy, że wtedy (fg)(x_{0}) = 0, (fg)(x_{1}) = 1 oraz K ⊂ ((fg)(x_{0}), (fg)(x_{1})). Ponadto dla wszystkich x ∈ IR, (fg)(x) ∉ K, co kończy dowód w tym przypadku.

(2) Załóżmy, że f ∈ CIV P \ C. Jeżeli funkcja f obcięta do pewnego przedziału domkniętego I jest ciągła, to możemy zakładać, że f|I jest funkcją stałą, gdyż w przeciwnym przypadku dowód przebiegałby analogicznie jak w punkcie (1). Pokażemy, że przy powyższym założeniu istnieje taki punkt x_{0} ∈ D(f), że f(x_{0}) ≠ 0. Przypuśćmy, że f(D(f)) = {0}. Istnieje wtedy taki punkt a oraz jego otoczenie otwarte J, że f(a) ≠ 0 oraz f|J jest funkcją ciągłą. Stąd jeśli przyjmiemy x_{1} = inf{x; f|[x, a] jest ciągła} i x_{0} = sup{x; f|[a, x] jest ciągła }, to otrzymujemy, że x_{0} ≠ x_{1} i f|[x_{0}, x_{1}] = f(a). Natomiast z nieciągłości funkcji f wynika, że (x_{0}, x_{1}) ≠ IR . Jeżeli założymy, iż x_{0} ≠ ∞, to f jest funkcją nieciągłą w punkcie x_{0} oraz f(x_{0}) ≠ 0. Jeżeli x_{0} = ∞, a x_{1} ≠ −∞, to za x_{0} należy przyjąć punkt x_{1}.

Możemy zatem założyć, że funkcja f jest prawostronnie nieciągła w punkcie x_{0} (dla lewostronnej ciągłości dowód przebiega identycznie) oraz a = f(x_{0}) ≠ 0. Mogą zajść dwa przypadki:

(a) istnieje taki ciąg (x_{n})_{n=1}^{∞}, że x_{n} ↘ x_{0} oraz f(x_{n}) = 0. Określmy g : IR → IR jako

g(x) = \{ \begin{matrix}2a & dla x ≤ x_{0} \\ 2a − f(x) & dla x > x_{0} \end{matrix} .

Na podstawie lematów 4.1.4 oraz 4.1.3 wnioskujemy, że g ∈ CIV P. Ponieważ fg(x_{0}) = 2a^{2} oraz

fg(x) = (2a − f(x))f(x) ≤ a^{2} < 2a^{2} dla x > x_{0},

więc fg ∉ CIV P i fg ∉ D. Jeśli założyć, iż f ∈ D, to otrzymujemy, że g ∈ D.

(b) Załóżmy, że istnieje d > 0 dla którego f(x) ≠ 0 jeśli x ∈ (x_{0}, x_{0} + d]. Na mocy lematu 4.1.2 istnieje c ∈ K^{+}(f, x_{0}) \ {±f(x_{0}), 0}. Przyjmijmy

g(x) = \{ \begin{matrix}1/|c| & jeśli x ≤ x_{0} \\ 1/|f(x)| & jeśli x ∈ (x_{0}, x_{0} + d] \\ 1/|f(x_{0} + d)| & jeśli x > x_{0} \end{matrix} .

Na podstwie lematu 4.1.4 oraz twierdzenia 4.1.4, g ∈ CIV P. Zauważmy, że fg(x_{0}) = f(x_{0})/|c| ≠ ±1 i fg(x) = ±1 dla x ∈ (x_{0}, x_{0} + d]. Stąd fg ∉ CIV P oraz fg ∉ D. Jeżeli f posiada własność Darboux, to funkcja g również posiada tę własność.

Wniosek 4.3.1 Załóżmy CH.

M_{a}(CIV P) = M_{m}(CIV P) = M_{a}(D∩CIV P) = M_{m}(D∩CIV P) = Const.

Wniosek 4.3.2 Z twierdzenia 4.1.4 otrzymujemy

M_{out}(CIV P) = M_{in}(CIV P) = CIV P.

Problem 2 W jaki sposób scharakteryzować rodziny funkcji M_{max}(CIV P) i M_{min}(CIV P)?

4.4 Reprezentacje

Twierdzenie 4.4.1 Niech {f_{α}; α < ω_{1}} będzie dowolnym pozaskończonym ciągiem funkcji rzeczywistych. Istnieje wtedy taka funkcja f ∈ CIV P ∩ D, że f + f_{α} ∈ CIV P ∩ D dla wszystkich α < ω_{1}.

Dowód. Niech {I_{n}}_{n=1}^{∞} będzie ciągiem wszystkich otwartych przedziałów o końcach wymiernych. Oznaczmy przez {C_{n,i,α} : n ∈ IN; i = 1, 2; α < ω_{1}} rodzinę zbiorów Cantora spełniającą warunki:

a) C_{n,i,α} ∩ C_{m,j,β} = ∅ dla (n, i, α) ≠ (m, j, β) oraz

b) C_{n,i,α} ⊂ I_{n}, gdzie n ∈ IN, i = 1, 2, α < ω_{1}. Ustawmy w ciąg pozaskończony {x_{α}}_{α<ω_{1}} wszystkie liczby rzeczywiste i określmy

f(x) = \{ \begin{matrix}x_{α} − f_{α}(x) & dla x ∈ C_{n,1,α} \\ x_{α} & dla x ∈ C_{n,2,α} n ∈ IN, α < ω_{1} \\ 0 & w przeciwnym przypadku \end{matrix} .

Wtedy f, f + f_{α} ∈ CIV P ∩ D.

Wniosek 4.4.1 Dowolną funkcję f : IR → IR można przedstawić w postaci sumy dwóch funkcji f, g ∈ CIV P.

Twierdzenie 4.4.2 Niech f : IR → IR. Istnieją wtedy funkcje g, h : IR → IR z własnością CIV P takie, że f = gh.

Dowód. Niech {I_{k}}_{k=1}^{∞} będzie ciągiem wszystkich przedziałów otwartych o końcach wymiernych. Możemy wtedy znaleźć takie dwa ciągi parami rozłącznych zbiorów Cantora {C_{k,1}}_{k=1}^{∞}, {C_{k,2}}_{k=1}^{∞}, że C_{k,n} ⊂ I_{k} dla k ∈ IN, n = 1, 2. Przedstawmy każdy ze zbiorów Cantora C_{k,n}, k ∈ IN, n = 1, 2 jako sumę rozłącznych zbiorów Cantora ⋃_{α<ω_{c}} C_{k,n,α}. Niech {r_{α}}_{α<ω_{c}} będzie pozaskończonym ciągiem liczb rzeczywistych różnych od zera. Określmy

g(x) = \{ \begin{matrix}r_{α} & dla x ∈ C_{k,1,α}, k ∈ IN, α < ω_{c} \\ f(x)/r_{α} & dla x ∈ C_{k,2,α}, k ∈ IN, α < ω_{c} \\ f(x) & w przeciwnym przypadku \end{matrix}

oraz

h(x) = \{ \begin{matrix}f(x)/r_{α} & dla x ∈ C_{k,1,α}, k ∈ IN, α < ω_{c} \\ r_{α} & dla x ∈ C_{k,2,α}, k ∈ IN, α < ω_{c} \\ 1 & w przeciwnym przypadku. \end{matrix}

Wtedy gh = f oraz f, g ∈ CIV P.

Uwaga 4.4.1 Niech {f_{t}}_{t∈T} będzie dowolną klasą funkcji rzeczywistych. Wtedy ff_{t} ∈ CIV P dla t ∈ T , gdzie f = 0 ∈ CIV P.

Uwaga 4.4.2 Istnieje taka funkcja f, że fg ∉ CIV P dla żadnej funkcji g ∈ CIV P \ {0}.

Dowód. Niech f będzie funkcją charakterystyczną zbioru Bernsteina A, tj.

f(x) = \{ \begin{matrix}1 & dla x ∈ A \\ 0 & dla x ∈ IR \ A \end{matrix} .

Załóżmy, że fg ∈ CIV P dla pewnej funkcji g ∈ CIV P \ {0}. Znajdziemy wtedy taki punkt y ∈ A, że g(y) ≠ 0. Ustalmy x ∈ (IR\A)∩(−∞, y). Gdyby fg(C) ⊂ (0, fg(y)) dla pewnego zbioru Cantora C ⊂ (x, y), to C musiałby być zawarty w zbiorze A, a to jest niemożliwe.

Przykład 4.4.1 Istnieje rodzina funkcji F ⊂ B_{1} mocy continuum taka, że dla dowolnej funkcji g : IR → IR, warunek

fg ∈ CIV P dla wszystkich f ∈ F

implikuje g = 0.

Dowód. Niech {x_{α}}_{α<ω_{c}} będzie pozaskończonym ciągiem wszystkich liczb rzeczywistych oraz

f_{α}(x) = \{ \begin{matrix}1 & jeśli x = x_{α} \\ 0 & jeśli x ≠ x_{α} \end{matrix} .

Jeżeli g ∈ CIV P \ {0}, to istnieje punkt a, w którym funkcja g przyjmuje wartość różną od zera. Wtedy dla pewnego α < ω_{c} mamy a = x_{α} oraz gf_{α} = g(a)f_{α} ∉ CIV P.

Twierdzenie 4.4.3 Załóżmy CH. Dla dowolnego ciągu {f_{k}}_{k=1}^{∞} funkcji mierzalnych w sensie Lebesgue’a istnieje niezerowa funkcja f ∈ CIV P ∩ D mająca tę własność, że ff_{k} ∈ CIV P ∩ D dla wszystkich k ∈ IN. Jeśli wszystkie funkcje f_{k}, k ∈ IN, mają własność Baire’a, to funkcja f posiada również własność Baire’a.

Dowód. Niech [f_{k} = 0] = {x ∈ IR; f_{k}(x) = 0} oraz [f_{k} ≠ 0] = {x ∈ IR; f_{k}(x) ≠ 0} dla k ∈ IN. Dla każdego k ∈ IN oznaczmy przez S_{k} i P_{k} odpowiednio zbiory tych x ∈ [f_{k} ≠ 0], x ∈ [f_{k} = 0] dla których istnieje taki ε > 0, że odpowiednie zbiory (x − ε, x + ε) ∩ [f_{k} ≠ 0], (x − ε, x + ε) ∩ [f_{k} = 0] mają miarę Lebesgue’a zero. Wtedy S = ⋃_{k=1}^{∞} S_{k} i P = ⋃_{k=1}^{∞} P_{k} są zbiorami miary zero. Ustalmy k ∈ IN. Jeśli zbiór [f_{k} = 0] ma dodatnią miarę, to niech A_{k} ⊂ [f_{k} = 0] \ P będzie dowolnym zbiorem borelowskim, c-gęstym w sobie, mającym tę samą miarę co [f_{k} = 0]. W przeciwnym przypadku niech A_{k} = ∅. Jeżeli [f_{k} ≠ 0] jest dodatniej miary Lebesgue’a, to oznaczmy przez B_{k} ⊂ [f_{k} ≠ 0] \ S pewien zbiór borelowski, obustonnie c-gęsty w sobie o tej samej mierze co zbiór [f_{k} ≠ 0]. Niech B_{k} = ∅ dla tych k ∈ IN, dla których zbiór [f_{k} ≠ 0] ma miarę zero. Ustawmy w ciąg {I_{n}}_{n=1}^{∞} wszystkie przedziały otwarte o końcach wymiernych. Niech N_{1}, N_{2} ⊂ IN × IN będą odpowiednio zbiorami tych par uporządkowanych (k_{1}, n_{1}), (k_{2}, n_{2}), dla których I_{n_{1}} ∩ A_{k_{1}} ≠ ∅ oraz I_{n_{2}} ∩ B_{k_{2}} ≠ ∅. Na mocy lematu 2 [15], istnieje rodzina parami rozłącznych zbiorów Cantora {C_{k_{1},n_{1}}, K_{k_{2},n_{2}}; (k_{1}, n_{1}) ∈ N_{1}, (k_{2}, n_{2}) ∈ N_{2}} o tej własności, że C_{k_{1},n_{2}} ⊂ I_{n_{1}} ∩ A_{k_{1}} dla (k_{1}, n_{1}) ∈ N_{1} oraz K_{k_{2},n_{2}} ⊂ I_{n_{2}} ∩ B_{k_{2}} dla (k_{2}, n_{2}) ∈ N_{2} Przedstawmy każdy zbiór K_{k_{2},n_{2}}, (k, n) ∈ N_{2} jako sumę ⋃_{i=1}^{2} ⋃_{α<ω_{c}} K_{k_{2},n_{2},α}^{i} parami rozłącznych zbiorów Cantora. Analogicznie niech C_{k_{1},n_{1}} = ⋃_{α<ω_{c}} C_{k_{1},n_{1},α}, gdzie {C_{k_{1},n_{1},α}}_{α<ω_{c}} jest pozaskończonym ciągiem parami rozłącznych zbiorów Cantora. Niech {x_{α}}_{α<ω_{c}} = IR oraz

f(x) = \{ \begin{matrix}x_{α} & dla x ∈ C_{k_{1},n_{1},α} ∪ K_{k_{2},n_{2},α}^{1} \\ x_{α}/f_{k_{2}}(x) & dla x ∈ K_{k_{2},n_{2},α}^{2}, (k_{1}, n_{1}) ∈ N_{1}, (k_{2}, n_{2}) ∈ N_{2}, α < ω_{c} \\ 0 & w przeciwnym przypadku. \end{matrix}

Ponieważ dla każdej liczby rzeczywistej z oraz dla dowolnego przedziału otwartego I znajdziemy taki zbiór Cantora C_{k_{1},n_{1},α} ( lub K_{k_{2},n_{2},α}^{1}), dla którego f(C_{k_{1},n_{1},α}) = {z} (lub f(K_{k_{2},n_{2},α}^{1}) = {z}), więc f ∈ CIV P ∩ D. Ustalmy s ∈ IN. Załóżmy, że x < y oraz ff_{s}(x) < ff_{s}(y). Wybierzmy zbiór Cantora K ⊂ (ff_{s}(x), ff_{s}(y)) oraz oznaczmy przez z dowolny punkt z tego zbioru. Wtedy (ff_{s})^{2}(x) + (ff_{s})^{2}(y) > 0. Załóżmy, że ff_{s}(y) ≠ 0. Stąd f(y) ≠ 0 oraz y ∈ B_{s}. Ponieważ B_{s} jest obustronnie c–gęsty w sobie, więc istnieje zbiór Cantora K_{s,n} ⊂ (x, y). Ponadto dla pewnego α < ω_{c}, z = x_{α} i ff_{s}(K_{s,n,α}^{2}) = {z} ⊂ K. Analogicznie pokazuje się, że funkcja ff_{s} ∈ D. Jeżeli funkcje f_{k} posiadają własność Baire’a, to dla dowolnego zbioru otwartego G i dla każdego n ∈ IN, zbiór f^{−1}(G) jest sumą zbioru z własnością Baire’a i podzbioru zbioru pierwszej kategorii, miary zero ⋃_{(k,n)∈N_{1}}^{∞} C_{k,n} ∪ ⋃_{(k,n)∈N_{2}}^{∞} K_{k,n}, co dowodzi, że funkcja f posiada własność Baire’a.

Twierdzenie 4.4.4 Każdą funkcję f : IR → IR można przedstawić jako

f = min(max(f_{1}, f_{2}), max(f_{3}, f_{4})),

gdzie f_{1}, f_{2}, f_{3}, f_{4} są funkcjami z własnościami CIV P i Darboux. Jeśli f jest funkcją mierzalną, lub z własnością Baire’a, to funkcje f_{n} są mierzalne, odpowiednio z własnością Baire’a.

Dowód. Niech (I_{k})_{k=1}^{∞} będzie ciągiem wszystkich przedziałów otwartych o końcach wymiernych. Możemy, wtedy znaleźć rodzinę parami rozłacznych zbiorów Cantora {C_{k,n}; k ∈ IN, n = 1, 2, 3, 4, } takich, że C_{k,n} ⊂ I_{k} dla n = 1, 2, 3, 4 i k ∈ IN. Przedstawmy każdy zbiór C_{k,n}, k ∈ IN, n = 1, 2, 3, 4 w postaci sumy ⋃_{α<ω_{c}} C_{k,n,α}, parami rozłącznych zbiorów Cantora. Ustawmy w ciąg pozaskończony (x_{α})_{α<ω_{c}} wszystkie liczby rzeczywiste. Połóżmy

f_{n}(x) = \{ \begin{matrix}x_{α} & dla x ∈ C_{k,n,α}, & k ∈ IN, α < ω_{c} \\ f(x) & w przeciwnym przypadku \end{matrix}

oraz D_{n} = ⋃_{k=1}^{∞} ⋃_{α<ω_{c}} C_{k,n,α} dla n = 1, 2, 3, 4. Ustalmy n = 1, 2, 3, 4. Ponieważ dla dowolnego λ ∈ IR oraz dla dowolnego przedziału otwartego I, znajdziemy taki zbiór Cantora C, że f_{n}(C) = {λ}, więc funkcja f_{n} posida własności CIV P oraz Darboux. Będziemy sprawdzać, że

f = min(max(f_{1}, f_{2}), max(f_{3}, f_{4})).  (4.1)

a) Jeżeli x ∉ ⋃_{i=1}^{4} D_{i},to f_{1}(x) = f_{2}(x) = f_{3}(x) = f_{4}(x) = f(x), a stąd warunek (4.1) jest spełniony.

b) Jeśli x ∈ D_{1}, to x ∉ ⋃_{i=2}^{4} D_{i} i wtedy f_{2}(x) = f_{3}(x) = f_{4}(x) = f(x). Przy założeniu f_{1}(x) ≤ f(x) mamy max(f_{1}, f_{2})(x) = f(x), a stąd

f(x) = min[max(f_{1}(x), f_{2}(x)), max(f_{3}(x), f_{4}(x))].

W przeciwnym przypadku f_{1}(x) > f(x) oraz

f(x) = min[max(f_{1}(x), f_{2}(x)), max(f_{3}(x), f_{4}(x))].

c) Dla x ∈ D_{2} ∪ D_{3} ∪ D_{4} postępujemy w sposób analogiczny jak w punkcie poprzednim.

Zauważmy, że dla dowolnego zbioru otwartego G,

f_{n}^{−1}(G) = (f^{−1}(G) \ D_{n}) ∪ A,

gdzie A ⊂ D_{n} jest zbiorem pierwszej kategorii, miary zero. Zatem jeżeli f jest funkcją mierzalną, lub z własnością Baire’a, to funkcje f_{n} są odpowiednio mierzalne, lub z własnością Baire’a.

Uwaga 4.4.3 Jeśli (−f) = min(max(f_{1}, f_{2}), max(f_{3}, f_{4})), to

f = max(min(−f_{1}, −f_{2}), min(−f_{3}, −f_{4})),

co pokazuje, że max i min można zamienić miejscami.

Problem 3 W jaki sposób scharakteryzować klasę tych wszystkich funkcji f, które dają się przedstawić w postaci maksimum (minimum) dwóch funkcji z własnością CIV P?

4.5 Granice jednostajne

Twierdzenie 4.5.1 Jeżeli funkcja f jest granicą jednostajnie zbieżnego ciągu {f_{n}}_{n=1}^{∞} funkcji z własnością CIV P, to f ∈ U_{0} ∩ W CIV P.

Dowód. Niech J = [a, b]. Bez straty na ogólności załóżmy, że f(a) < f(b). Wybierzmy dowolny przedział otwarty U, którego domknięcie jest zawarte w (f(a), f(b)). Przedstawmy zbiór U jako (y − ε, y + ε). Istnieje takie n ∈ IN, że |f_{n}(x) − f(x)| < ε/4 dla x ∈ J, f_{n}(a) < y − ε oraz f_{n}(b) > y + ε.

Ponieważ f_{n} ∈ CIV P, więc dla pewnego zbioru Cantora C ⊂ (a, b), mamy f_{n}(C) ⊂ (y−ε/4, y+ε/4). Wtedy f(C) ⊂ (y−ε/2, y+ε/2) ⊂ U, co implikuje f ∈ W CIV P. Ponieważ CIV P ⊂ U oraz U jest domknięty względem operacji granicy jednostajnej [1], więc f ∈ U ⊂ U_{0}.

Lemat 4.5.1 Niech J = (a, b), f ∈ U_{0} ∩ W CIV P, A = f^{−1}(J) oraz niech {I_{m}}_{m=1}^{∞} będzie ciągiem wszystkich przedziałów otwartych o końcach wymiernych, dla których I_{m} ∩ A ≠ ∅. Jeżeli A ≠ ∅, to istnieje ciąg parami rozłącznych zbiorów Cantora {C_{m}}_{m=1}^{∞} taki, że C_{m} ⊂ A ∩ I_{m} dla wszystkich m ∈ IN.

Dowód. Na początku pokażmy, że jeśli funkcja f|(I_{m} ∩ A) jest stała, to I_{m} ⊂ A. Załóżmy, że funkcja f|(I_{m} ∩ A) jest stała, f(I_{m} ∩ A) = {z} oraz x ∈ I_{m} \ A. Wtedy f(x) ∉ (a, b). Załóżmy, że f(x) > b. Niech U = (z, b). Ponieważ f(I_{m}) ∩ U = ∅, więc f ∉ U.

Ustalmy m ∈ IN. Jeżeli f|(I_{m} ∩ A) jest funkcją stałą, to możemy znaleźć zbiór Cantora K_{m} ⊂ I_{m}∩A. W przeciwnym przypadku istnieją takie punkty x_{m}, y_{m} ∈ I_{m} ∩ A, że f(x_{m}) < f(y_{m}). Wtedy f(K_{m}) ⊂ (f(x_{m}), f(y_{m})) dla pewnego zbioru Cantora K_{m} ⊂ (x_{m}, y_{m}). Stąd K_{m} ⊂ f^{−1}(f(K_{m})) ⊂ f^{−1}(J) = A. Na mocy lematu 2 [15] wybierzmy ciąg parami rozłącznych zbiorów Cantora {C_{m}}_{m=1}^{∞} spełniający dla każdego m ∈ IN warunek C_{m} ⊂ K_{m} ⊂ I_{m} ∩ A, co kończy dowód.

Twierdzenie 4.5.2 Jeśli f ∈ U_{0} ∩ W CIV P, to funkcja f jest granicą jednostajnie zbieżnego ciągu funkcji z własnością CIV P ∩ D.

Dowód. Ustalmy f ∈ U_{0} ∩ W CIV P, ε > 0. Wystarczy pokazać, że istnieje taka funkcja g ∈ CIV P ∩ D, że ∥f − g∥ < ε. Jeśli f jest funkcją stała, to g = f. W przypadku gdy funkcja g nie jest stała, możemy bez straty na ogólności założyć, że domknięcie zbioru wartości funkcji f jest równe IR. Rozłóżmy IR na rozłączne, lewostronnie domknięte przedziały {J_{n}}_{n=1}^{∞}, każdy długości ε. Niech A_{n} = f^{−1}(int(J_{n})). Ustalmy n ∈ IN i oznaczmy przez {I_{n,m}}_{m=1}^{∞} rodzinę wszystkich przedziałów otwartych o końcach wymiernych, o tej własności, że I_{n,m} ∩ A_{n} ≠ ∅. Na podstawie lematu 4.5.1 istnieje ciąg {C_{n,m}}_{m=1}^{∞} parami rozłącznych zbiorów Cantora taki, że C_{n,m} ⊂ I_{n,m} ∩ A_{n}. Możemy przedstawić każdy ze zbiorów C_{n,m} jako nieprzeliczalną sumę parami rozłączych zbiorów Cantora C_{n,m,α}, α < ω_{c}. Dla każdego n ∈ IN oznaczmy przez {r_{n,α}}_{α<ω_{c}} pozaskończony ciąg wszystkich liczb rzeczywistych ze zbioru \overline{J_{n}}. Zdefiniujmy funkcję g w sposób następujący:

g(x) = \{ \begin{matrix}r_{n,α} & dla x ∈ ⋃_{m=1}^{∞} C_{n,m,α} & n ∈ IN, α < ω_{c} \\ f(x) & w przeciwnym przypadku \end{matrix} .

Jest oczywiste, że ∥f −g∥ < ε. W celu wykazania, że g ∈ CIV P ∩D załóżmy, iż a < b oraz g(a) < g(b). Ustalmy dowolny zbiór Cantora K ⊂ (g(a), g(b)).

Wtedy dla pewnego n ∈ IN oraz α < ω_{c} punkt r_{n,α} ∈ K ∩ J_{n}, C_{n,m,α} ⊂ A_{n} ∩ (a, b) oraz g(C_{n,m,α}) = {r_{n,α}} ⊂ K, a więc g ∈ CIV P. Analogicznie dowodzi się, że g ma własność Darboux.

Uwaga 4.5.1 Klasa funkcji W CIV P nie jest jednostajnie domknięta.

Dowód. Niech

f_{n}(x) = \{ \begin{matrix}−1 & dla x ≤ 0 \\ x/n & dla x ∈ (0, 1) \\ 1/n & dla x ∈ [1, ∞) \end{matrix}

dla n ∈ IN. Wtedy f_{n} ∈ W CIV P, f_{n} zbiega jednostajnie do funkcji

f(x) = \{ \begin{matrix}−1 & dla x ≤ 0 \\ 0 & dla x > 0 \end{matrix}

oraz f ∉ W CIV P.

Następny wniosek jest bezpośrednią konsekwencją twierdzeń 4.5.1 oraz 4.5.2.

Wniosek 4.5.1 Jednostajne domknięcie rodziny funkcji z własnością CIV P jest równe klasie funkcji U_{0} ∩ W CIV P.

4.6 Granice punktowe i pozaskończone

Twierdzenie 4.6.1 Dowolna funkcja rzeczywista f jest granicą punktowo zbieżnego ciągu funkcji f_{n} ∈ CIV P ∩ D. Jeżeli funkcja f jest mierzalna (z własnością Baire’a), to funkcje f_{n} można wybrać również mierzalne (z własnością Baire’a).

Dowód. Niech {I_{k}}_{k=1}^{∞} będzie ciągiem przedziałów otwartych o końcach wymiernych oraz {C_{k,n}}_{k,n=1}^{∞} rodziną parami rozłącznych zbiorów Cantora o tej własności, że C_{k,n} ⊂ I_{k} dla n, k ∈ IN. Dla każdego n, k ∈ IN przedstawmy zbiór C_{k,n} jako sumę ⋃_{α<ω_{c}} C_{k,n,α} parami rozłącznych zbiorów Cantora. Ustawmy w ciąg pozaskończony (x_{α})_{α<ω_{c}} wszystkie liczby rzeczywiste oraz określmy dla każdego n ∈ IN, α < ω_{c} zbiór

D_{n,α} = ⋃_{k=1}^{∞} C_{k,n,α},

a dla każdego n ∈ IN funkcję

f_{n}(x) = \{ \begin{matrix}x_{α} & dla x ∈ D_{n,α} , α < ω_{c} \\ f(x) & w p. p. \end{matrix}

Wtedy f_{n} ∈ CIV P ∩ D. Pokażmy, że

f(x) = lim_{n→∞} f_{n}(x).  (4.2)

Ustalmy x ∈ IR. Jeśli x ∉ ⋃_{n=1}^{∞} ⋃_{α<ω_{c}} D_{n,α}, to f_{n}(x) = f(x) dla każdego n ∈ IN i (4.2) jest spełniony. W przeciwnym przypadku x ∈ D_{n_{0},α} dla pewnego n_{0} ∈ IN, α < ω_{c} i wtedy x ∉ D_{n,α} dla n > n_{0}, α < ω_{c}. Stąd f_{n}(x) = f(x) dla n > n_{0}. Jeżeli funkcja f jest mierzalna (ma własność Baire’a), to dla dowolnego zbioru otwartego G i dla każdego n ∈ IN, zbiór f_{n}^{−1}(G) jest sumą zbioru mierzalnego (z własnością Baire’a) i podzbioru zbioru pierwszej kategorii, miary zero ⋃_{k,n=1}^{∞} C_{k,n}. Co dowodzi, że funkcje f_{n} są mierzalne (z własnością Baire’a).

Twierdzenie 4.6.2 Dowolna funkcja f : IR → IR jest granicą pozaskończonego (patrz definicja 14) ciągu funkcji (f_{α})_{α<ω_{1}} z własnościami CIV P i Darboux. Jeżeli f jest funkcją mierzalną (posiada własność Baire’a), to funkcje f_{α} również są mierzalne (z własnością Baire’a).

Dowód. Niech (I_{k})_{k=1}^{∞} będzie ciągiem wszystkich przedziałów otwartych o końcach wymiernych. Skorzystajmy ponownie z faktu, że w każdym przedziale I_{k} możemy wybrać zbiór Cantora C_{k} rozłączny z wszystkimi wybranymi przed nim zbiorami C_{n}, n < k. Niech każdy zbiór C_{k} będzie sumą

⋃_{α<ω_{1}} ⋃_{β<ω_{c}} C_{k,α,β}

parami rozłącznych zbiorów Cantora C_{k,α,β}. Oznaczmy przez (x_{β})_{β<ω_{c}} pozaskończony ciąg wszystkich liczb rzeczywistych. Przyjmijmy

D_{α,β} = ⋃_{k=1}^{∞} C_{k,α,β} oraz

f_{α}(x) = \{ \begin{matrix}x_{β} & dla x ∈ D_{α,β}, β < ω_{c}; \\ f(x) & w przeciwnym przypadku. \end{matrix}

dla α < ω_{1}. Wtedy f_{α} ∈ CIV P. Sprawdźmy, że

f(x) = lim_{α→ω_{1}} f_{α}(x).  (4.3)

Ustalmy x ∈ IR. Wtedy jeżeli x ∉ ⋃_{α<ω_{1}} ⋃_{β<ω_{c}} D_{α,β}, to (4.3) zachodzi, gdyż f_{α}(x) = f(x) dla α < ω_{1}. Dla x ∈ D_{α,β} dla pewnego β < ω_{c}, mamy x ∉ D_{α,γ} dla γ > β, a stąd f_{α}(x) = f(x) dla wszystkich γ > β. Dowód drugiej części twierdzenia pomijamy, gdyż jest analogiczny jak w twierdzeniu poprzednim.

Podsumowanie

W swojej pracy otrzymałem następujące wyniki. Jeżeli E jest σ–systemem ścieżek, to

1) M_{a}(C_{E}) = C,

2) M_{m}(C_{E}) = M,

3) M_{out}(C_{E}) = C oraz

4) EIV P ∪ Eonst ⊂ M_{in}(C_{E}).

5) Jeżei E jest c systemem ścieżek, to M_{max}(C_{E}) = M_{min}(C_{E}) = C.

6) Klasa funkcji E–ciągłych jest jednostajne domknięta, jeśli przyjąć, że E jest σ–systemem scieżek.

7) Jeżeli E jest c–systemem ścieżek, to dowolna funkcja rzeczywista jest sumą, iloczynem, granicą punktową, granicą pozakończonego ciągu funkcji E–ciągłych.

8) Jeżeli E jest c–systemem ścieżek, to każdą funkcję rzeczywistą można przedstawić jako złożenie dwóch funkcji E–ciągłych.

9) Każdą funkcję f można przedstawić w postaci

f = max(min(f_{1}, f_{2}), min(f_{3}, f_{4}), gdzie

f_{1}, f_{2}, f_{3}, f_{4} są funkcjami E–ciągłymi względem c–systemu ścieżek E.

10) Każdą funkcję f można przedstawić w postaci

f = min(max(f_{1}, f_{2}), max(f_{3}, f_{4}), gdzie

f_{1}, f_{2}, f_{3}, f_{4} są funkcjami E–ciągłymi względem c–systemu ścieżek E.

11) Jeżeli σ–system ścieżek E ma tę własność, że dla dowolnej przeliczalnej podrodziny {E_{n} : n ∈ IN} ⊂ E istnieje rodzina parami rozłacznych, niepustych ścieżek P_{n} ⊆ E_{n} dla n ∈ IN, to funkcja f jest postaci max(g, h) (min(g, h)), gdzie g, h są funkcjami E–ciągłymi, wtedy i tylko wtedy gdy posiada ona górną (dolną) ścieżkę w każdym punkcie.

12) Funkcja E–ciągła o domkniętym wykresie jest ciągła.

13) Złożenie dwóch funkcji z własnością EIV P jest funkcją z własnością EIV P, jeśli tylko E jest δ-systemem ścieżek.

14) M_{a}(CIV P) = Const.

15) M_{m}(CIV P) = Const.

16) Przy założeniu hipotezy continuum prawdziwe jest twierdzenie: Dla dowolnej rodziny funkcji rzeczywistych (f_{α})_{α<ω_{1}} istnieje funkcja f ∈ CIV P taka, że f + f_{α} ∈ CIV P dla α < ω_{1}.

17) Dowolna funkcja rzeczywista jest sumą dwóch funkcji CIV P.

18) Dowolna funkcja rzeczywista jest iloczynem dwóch funkcji CIV P.

19) Dla dowolnej przeliczalnej rodziny funkcji mierzalnych f_{n} istnieje taka niezerowa funkcja f z własnościami CIV P i Darboux, że dla każdego n ∈ IN, ff_{n} ∈ CIV P ∩ D.

20) Jednostajne domknięcie klasy funkcji CIV P równe jest W CIW P ∩U_{0}.

21) Dowolna funkcja jest granicą punktowo zbieżnego ciągu funkcji z własnością CIV P.

22) Dowolna funkcja jest granicą pozaskończonego ciągu funkcji z własnością CIV P.

Otwarte pozostają nadal problemy:

23) W jaki sposób scharakteryzować rodzinę M_{in}(C_{E})?

24) Jak wyglądają rodziny funkcji M_{max}(CIV P) oraz M_{min}(CIV P)?

25) W jaki sposób można scharakteryzować klasę funkcji będących maksimum (minimum) dwóch funkcji z własnością CIV P?

Bibliography

[1] A. M. Bruckner, J. G. Ceder, Max Weiss, Uniform limits of Darboux function, Colloquium Math., 15 (1966), str. 65–77.

[2] A. M. Bruckner, Differentiation of real functions, Springer Verlag, Berlin-Heidelberg-New York, 1978.

[3] A. M. Bruckner, R. J. O’Malley, B. S. Thomson, Path derivatives: a unified view of certain generalized derivatives, Trans. Amer. Math. Soc. 283 (1984), str. 97–125.

[4] G. Darboux, Memoire sur fonctions discontinues, Ann. Sci. Scoula Norm. Sup. 4(1875), str 57–112.

[5] R. Fleissner, A note on Baire 1 Darboux functions, Real Anal. Ex. 3 (1977-1978), str. 104–106.

[6] R. G. Gibson, F. Roush, The Cantor intermediate value property, Top. Proc. 7 (1982), str. 55–62.

[7] R. G. Gibson, F. Roush, Concerning the extension of connectivity functions, Top. Proc. 10 (1985), str. 75–82.

[8] T. Husain, Almost continuous mappings, Prace Matem. 10 (1966), str. 1–7.

[9] C. Kuratowski, Topologie, Vol. 1, Warszawa 1958.

[10] I. Maximoff, Sur les fonctions ayant la propriéte de Darboux, Prace Matem. Fizyc. 43 (1936), str. 241–265.

[11] R. Menkyna, L. Mikuláš, The maximal families with respect to the composition of functions with a closed graph, Acta Math. Univ. Comm. (1988), str. 185–189.

[12] T. Natkaniec, On quasi-continuous functions having Darboux property, Math. Pannonica, 3/2 (1992), str. 81–96.

[13] T. Neubrun, Quasi-continuity, Real Anal. Ex. 14 (1988-89), str. 259– 306.

[14] W.Sierpiński, Sur une propriété des ensembles G_{δ} non dénombrables, Fund. Math. 21 (1933), str. 66–72.

[15] J. Smital, On approximation of Baire functions by Darboux functions, Czechoslovak Math. Journal 21 (96), 1971, str. 418–423.

[16] B. S. Thomson, Real functions, Spinger-Verlag, Berlin 1985.

[17] J. Young, A theorem in the theory of functions of real variable, Rend. Circ. Palermo 24 (1907), str. 187–192.